Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas

Martin Gardner

Editorial Labor. 1990

Página 6 y 7.
Las formas de un par de teselas de Penrose son variables, pero las que componen el par más interesante tienen formas que Conway llama "dardos" y "cometas". Vemos en la figura 6A cómo se deducen de un rombo cuyos ángulos sean de 72 y 108 grados. Dividimos la razón áurea , (1+√5)/2=1,61803398... y unimos después el punto con los vértices obtusos. Eso es todo. Sea FI la razón áurea. Como podemos ver en la figura, cada uno de los segmentos rectilíneos mide 1 o FI. El ángulo mínimo es de 36 grados y los demás ángulos son múltiplos de él.

Como es obvio, el rombo da un embaldosado periódico, pero no nos está permitido unir piezas de tal manera. Para impedir que se adosen de formas prohibidas lados de la misma longitud podemos recurrir a dientes y entalladuras; pero existen procedimientos más sencillos y sutiles. Podemos, por ejemplo, rotular los vértices con las letras H y T, como se muestra en la figura 6B, y establecer después la regla de que al adosar lados solamente pueden entrar en contacto vértices de la misma letra. Para facilitar la obediencias a esta letra podríamos marcar los vértices con puntos de dos colores, pero un método mucho más elegante, propuesto por Conway, consiste en trazar sobre cada tesela arcos circulares de dos colores, que en la ilustración aparecen en como negro y gris. Cada arco corta a los lados y al eje de simetría en razón áurea. La regla consiste entonces en que al adosar lados es preciso enlazar arcos del mismo color.
Para apreciar plenamente la belleza y misterio de un mosaico de Penrose es preciso construir por lo menos 100 cometas y 60 dardos. Es suficiente colorear las piezas por un solo lado. El número de formas de piezas de una y otra forma se encuentra (lo mismo que sus áreas) en razón áurea. Podríamos suponer que iban a hacer falta más dardos que cometas, pero es justamente al revés: se necesitan 1,618... veces más cometas que dardos. En un mosaico infinito esta proporción es exacta. La irracionalidad de tal razón es hecho subyacente a una demostración de Penrose de que la pavimentación es no periódica, pues di fuera periódica, la razón sería claramente un número racional.

Las maravillas que describe invitan a crear muchas copias de cometas y dardos y jugar con ellas. Además mañana cumple años Penrose: nació en 1931. ¡Feliz cumpleaños, y que cumplas muchos más!
Otro libro de Martin Gardner está aquí.