Números y figuras

Números y figuras. Matemáticas para todos.


Hans Rademacher y Otto Toeplitz


Alianza Editorial. 1970


Página 109.
En 1879 Cayley expuso el siguiente problema. Un mapa, generalmente, recibe varios colores para distinguir los distintos países. Lo mejor sería que cada país estuviera pintado de un color diferente, pero esto es excesivamente costoso. En lugar de esto, lo corriente es que se utilicen los menos colores posibles, teniendo cuidado de que los países contiguos tengan siempre colores diferentes. La Fig. 35a representa el mapa de una isla que requiere tres colores, azul para el mar y dos colores para los dos países. La Fig. 35b requiere de cuatro colores. Los tres países están en contacto con el mar, de forma que ninguno puede tener el mismo color que éste. Como los tres países son fronterizos, requieren tres colores distintos, lo cual hace un total de cuatro colores. La Fig. 35c muestra cómo pueden necesitarse cuatro colores a pesar de suprimir el del mar. En esta figura, el país central hace el papel del mar en la Fig. 35b. La Fig. 36 requiere también sólo tres colores a, b, c, mientras que el mapa más complicado de la Fig. 37 puede iluminarse con cuatro colores. Sería natural pensar que para mapas más complicados se requerirán más colores.
Se han trazado muchos mapas pero, por muy complejos que fueran, no se ha encontrado ninguno que necesitara más de cuatro colores. Por otra parte, nadie ha podido demostrar que cuatro colores sean siempre suficientes para cualquier mapa concebible. Es éste otro problema que puede fácilmente ser expuesto y entendido sin ninguna preparación de tipo matemático, pero que está todavía sin resolver.

No obstante, sí está demostrado que todo mapa puede colorearse con cinco colores. Cuando decimos que un mapa puede colorearse, significa que nunca dos países que tienen una frontera en común recibirán el mismo color. Sin embargo dos países pueden tener el mismo color si solamente se tocan en un ángulo (como al colorear un tablero de ajedrez). Además, por país entendemos que una sola porción de tierra y no una subdivisión política compuesta de varias partes aisladas.
El propósito central de este capítulo será demostrar este hecho: que todo mapa puede colorearse con cinco colores. En la demostración supondremos que el mapa representa una sola isla. Si toda isla y el mar que la rodea puede colorearse con cinco colores, ciertamente un mapa compuesto por varias islas puede iluminarse utilizando los mismos colores en cada isla.



Desconozco cuándo se escribió este libro pero Toeplitz murió el 15 de febrero de 1940 y el teorema de los cuatro colores se demostró en 1976. Toeplitz nació 1 de agosto de 1881.