Geometría superior

Geometría superior.



N. V. Efímov.



Editorial Mir. 1984.

 
Páginas 17, 18 y 19.
De los múltiples trabajos dedicados al V postulado, cabe destacar los de Saccheri y Lambert, que dejaron una huella significativa en el camino de la fundamentación de la teoría de las paralelas.
Los estudios de Saccheri fueron publicados en 1733, bajo el título "Euclides depurado de toda mácula, o la experiencia que establece los principios primordiales de la geometría universal". En esta obra Saccheri hace un intento de demostrar el V postulado por reducción al absurdo.

Saccheri parte del cuadrilátero AA'B'B (fig. 5) con dos ángulos rectos en la base AB y dos lados iguales, AA' y BB'. De la simetría de la figura con respecto a la perpendicular HH' a la mitad de la base AB, sigue que los ángulos en los vértices A' y B' son iguales entre sí. Si se acepta el V postulado y, en consecuencia, la teoría euclidiana de las paralelas, se puede establecer inmediatamente que los ángulos A' y B' son rectos, y AA'B'B es un rectángulo. Recíprocamente, como muestra Saccheri, si al menos en un cuadrilátero del tipo indicado los ángulos de la base superior resultan ser rectos, tendrá lugar el postulado euclidiano de las paralelas. Con el objeto de demostrar este postulado, Saccheri considera tres casos posibles: o bien los ángulos A' y B' son rectos, o bien obtusos, o bien agudos. Estas tres hipótesis las llama, respectivamente, hipótesis del ángulo recto, del obtuso y del agudo. Como la hipótesis del ángulo recto equivale al V postulado, a fin de demostrar este último hay que descartar las otras dos hipótesis. Con razonamientos totalmente rigurosos Saccheri llega, ante todo, a una contradicción con la hipótesis del ángulo obtuso. A continuación, adoptando la hipótesis del ángulo agudo, deduce consecuencias extremadamente elaboradas de tal premisa, a fin de obtener también aquí dos afirmaciones contradictorias. Al desarrollar estas consecuencias, Saccheri construye un sistema geométrico complejo, algunas de cuyas proposiciones son tan contradictorias con nuestras ideas habituales sobre la disposición de las rectas en el plano, que podrían ser consideradas absurdas. Por ejemplo, en el sistema geométrico correspondiente a la hipótesis del ángulo agudo, dos paralelas tienen o bien una única perpendicular común, a ambos lados de la cual éstas se alejan indefinidamente una de la otra, o bien no poseen ninguna, en cuyo caso convergen asintóticamente en un sentido y divergen indefinidamente en el otro.

Saccheri, con justeza, no considera que la sola contradicción con las ideas intuitivas de las representaciones habituales en el espacio sea un argumento para la invalidación lógica de estas premisas. Pero, al cabo de una serie de razonamientos precisos, Saccheri concluye la falsedad de la hipótesis del ángulo agudo, basándose en que dos rectas que convergen asintóticamente deben tener una perpendicular común en el punto del infinito, cosa que "contradice la naturaleza de la recta". Aceptando que, de este modo, las hipótesis del ángulo obtuso y del ángulo agudo conducen a contradicciones, Saccheri concluye que la única verdadera es la hipótesis del ángulo recto, con lo que queda demostrado el V postulado. Evidentemente, el propio Saccheri siente aquí que no pudo reducir la hipótesis del ángulo agudo a una contradicción lógica, y él regresa a ella, a fin de demostrar que «contradice a sí misma». Con este fin, calcula de dos maneras diferentes la longitud de cierta línea, y obtiene dos valores distintos para ella. Esto sería, en efecto, una contradicción, pero Saccheri llegó a ella habiendo cometido un error de cálculo.

Saccheri nació el 5 de setiembre de 1667. Muy interesado en el 5º postulado de Euclides, casi se convierte (al menos lo pensó) en el descubridor de las geometrías no euclídeas (hiperbólica y elíptica).