Elementos

Elementos. Libros I-IV


Euclides.


Editorial Gredos. 1991.


Páginas 197, 198 y 199.

5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos.

Ninguna proposición de los Elementos ha tenido una vida tan agitada como la de este célebre postulado, según se apuntan ya en la introducción general. Por lo regular, ha corrido el albur de un estatuto incierto. Fue asumido como postulado por la tradición adelardiana y por Campano, así como por varios editores y comentadores renacentistas, e. g.: ZAMBERTI (1505), LUCA PACIOLI (1509), TARTAGLIA (1543), COMMANDINO (1572). Otros muchos, quizás a partir de la editio princeps de GRYNAEUS (1533), prefieren incluirlo entre las nociones comunes, e. g.: F. CANDALLA (1556), CLAVIO (1574), VITALE (1682), GREGORY (1703). Pero el trance más radical, el de pasar por una proposición necesitada de prueba, fue una amenaza que se cernió sobre él desde un principio. «Debe ser borrado por completo de los postulados porque se trata de un teorema henchido de dificultades, que Tolemeo se propuso resolver en un libro, y su demostración requiere varias definiciones y teoremas. Más aún: La proposición conversa es efectivamente demostrada por el propio Euclides como un teorema» (PROCLO, Com. 191. 21 ss.). Proclo alude al parecer al teorema I 17: la suma de dos ángulos cualesquiera de un triángulo es menor que dos rectos, pues el postulado 5 equivale a decir que las rectas, al llegar a encontrarse por el lado correspondiente a los ángulos cuya suma es menos que dos ángulos rectos, forman un triángulo. «En el caso presente -continúa Proclo un poco más adelante—, el hecho de que las rectas convergen cuando los ángulos rectos son minorados, es cierto y necesario; por contra, la afirmación de que como convergen más y más a medida que se prolongan, llegarán alguna vez a encontrarse, es una afirmación verosímil pero no es necesaria a falta de un argumento que pruebe que esto es verdad acerca de las lineas rectas. Pues el hecho de que haya algunas líneas que se aproximan indefinidamente pero permanecen sin tocarse [asỳmptotoi], por más improbable y paradójico que parezca, también es cierto y está completamente comprobado en relación con lineas de otro tipo. ¿Por qué en el caso de las rectas no es posible lo mismo que ocurre con las lineas mentadas?» (Com. 192, 13-22). Sobre las fases principales del intento fallido de reducir el postulado, hasta desembocar en el alumbramiento de las geometrías no euclidianas, puede recordarse la nota (19) de la introducción general. Aquí parece más indicado mencionar algunas de las proposiciones, lógicamente equivalentes al postulado euclídeo, que se fueron explicitando a lo largo del proceso. Se suele destacar las siguientes (junto con algún portavoz caracterizado):
 (i) La suma de lo ángulos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos (resultado cuya relación con la teoría de las paralelas ya era conocida en tiempos de Aristóteles, cf. Elementos I 32; SACCHERI, 1733).
 (ii) Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a Posidonio); todos los puntos equidistantes de una linea reta, situados a un lado determinado de ella, constituyen una línea recta (CLAVIO, 1574).
 (ii') Dos rectas paralelas guardan entre sí una distancia finita (Proclo).
 (ii") Las rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta (THĀBIT IB QURRA, h. 826-901; CATALDI, 1603).
 (iii) Por un punto exterior a una recta sólo cabe trazar una paralela TOLEMEO; ALHAZEN, h. 965-1041; popularizado por J. Playfair a finales del siglo XVIII).
 (iv) Sobre una recta finita siempre se puede construir un triángulo semejante a un triángulo dado (J. WALLIS, 1653; A. M. LEGENDRE, 1824); existe un par de triángulos no congruentes, pero semejantes —con sus respectivos ángulos iguales— (SACCHERI, 1733).
 (v) En todo cuadrilátero que tenga tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también es recto (A. C. CLAIRAUT, 1741; J. H. LAMBERT, 1766).
 (vi) Se puede construir un triángulo cuya área sea mayor que cualquier área dada (K. F. GAUSS, 1799).
 (vii) Dados tres sumos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por todos ellos (A. M. LIGENDRE, 1824; F. BOLYAI, 1832)
 (viii) No hay patrón métrico absoluto de longitud (K. F. GAUSS, 1816).

¡La guerra que dió el quinto postulado de los Elementos de Euclides! Y qué razón tenía Euclides para incluirlo como postulado.