Intuición y matemática

Intuición y matemática.


V. Boss


Editorial URSS. 2005


Páginas 129, 130, 133 y 134.
La historia comenzó en la Antigua Grecia con los intentos de la geometría euclídea de liberarse del quinto postulado, el de las paralelas:

(E5) Por un punto situado en el exterior de una recta pasa una única recta que no corta a la recta dada,

y terminó al cabo de dos mil años con la construcción de la nueva geometría de Lobachevski, donde se sustituía (E5) por el axioma:

(L5) Por un punto situado en el exterior de una recta pasan al menos dos rectas que no cortan a la recta dada.

[...]
Y sólo en 1868 (más de cuarenta años después del primer trabajo de Lobachevski) beltrami al fin demostró que la nueva geometría se cumple en las superficies con curvatura negativa constante, y que es no contradictoria en la misma medida que lo es el análisis.
La solución del problema de los geómetras no causó una satisfación total. Este hecho no satisfizo totalmente a los geómetras, pues solamente se trataba de una realización local de la geometría de Lobachevski en una seudoesfera (a trozos).

Al poco tiempo se apareció Klein con un modelo genialmente simple, y la situación se tornó totalmente transparente. Klein propuso como plano el interior de un círculo, y como rectas, las cuerdas (naturalmente sin sus puntos extremos). Por el punto C (fig. 36) pasa todo un haz de rectas (cuerdas) que no cortan a la recta AB.
He aquí el modelo de la geometría de Lobachevski. Sin exagerar, ¡esto es lo que se llama alto pilotaje! Además, dado que el modelo se construye como un elementode la geometría habitual, ella es no contradictoria en la misma medida.









Nikolái Ivánovich Lobachevski nació 1 de diciembre de 1792.