Principios didácticos e históricos para la enseñanza de la Matemática.
Javier Peralta
Huerga y Fierro editores. 1995
Páginas 87, 88 y 89.
Como ejemplo del método de Polya, vamos a resolver el siguiente problema [...]: «Inscribir un cuadrado en un triángulo dado, tal que dos vértices del cuadrado se hallen sobre la base del triángulo, y los otros dos vértices del cuadrado sobre cada uno de los otros dos lados del triángulo».
—En la primera fase, comprender el problema, se nos sugiere hacer las siguientes preguntas:
¿Cuál es la incógnita? Un cuadrado.
¿Cuáles son los datos? Un triángulo dado.
¿Cuál es la condición? Que los cuatro vértices del cuadrado deben hallarse sobre el perímetro del triángulo: dos sobre la base, y cada uno de los restantes sobre cada uno de los otros lados.
¿Se puede satisfacer la condición? Parece que sí, ya que si invierto la incógnita con el dato: dado el cuadrado, hallar el triángulo (Figura 6), sí es posible.
—Concebir un plan. No se nos ocurre nada. Tratemos de resolver, por tanto, un problema relacionado pero más fácil, variando algo la condición. Por ejemplo, si se exigiera sólo que dos vértices estén sobre la base, la resolución es muy sencilla (Figura 7); incluso si se impusiera que dos estén sobre la base y otro sobre un lado (Figura 8).
Ahora bien, en este último caso —y en el anterior—, el cuadrado no está determinado unívocamente, ya que hay muchos que satisfacen esta condición. Dibujemos algunos (Figura 9).
—Realizar un plan. Para hallar el cuarto vértice, bastará por tanto con unir A con M' (o M" o M''') y prolongar dicha recta hasta BC (Figura 10). El punto de intersección, M, será el cuarto vértice del cuadrado; los otros tres se hallarán trazando por este punto una paralela a AB y una perpendicular a ésta.
Evidentemente MNPQ es un cuadrado, ya que sus lados opuestos son perpendiculares, NM=PQ por construcción, y fácilmente se prueba que PN=QM.
Se podrían obtener más consecuencias de este problema, como por ejemplo, hallar el lado del cuadrado, l, en función del lado c = AB y de la altura h correspondiente al mismo. Para ello basta con considerar la semejanza de los triángulos CNM y CAB (Figura 11), de donde se deduce que (h-l) / h = l/c, por lo que l = ch / (c+h); esto es, l es la mitad de la media armónica de c y h.
También es sencillo, si se desea, calcular l en función de los lados del triángulo.
¿Sabes calcular l en función de los lados del triángulo?
Este libro está lleno de ideas para enseñar matemáticas.
George Pólya nació el 13 de diciembre de 1887.