J. Rey Pastor y José Babini
Gedisa, S.A. 1985
Páginas 122, 123, 124 y 125.
Joseph-Louis Lagrange, de origen francés pero nacido en Italia, residió desde los 30 años en Berlín y en París. Con sus escritos contribuyó a dotar a las ramas analíticas de la matemática de esa generalidad que las caracteriza, mientras las aplica a los más variados problemas de mecánica, de astronomía, de probabilidades. Los primeros trabajos de Lagrange aparecieron en la Miscellanea Turinensia, publicación periódica de una sociedad científica de Turín, que Lagange contribuyó a fundar en 1757 y que luego se convirtió en la Academia Real de esa ciudad. En esos trabajos Lagrange reorganiza el "cálculo de las variaciones", independizándolo de las consideraciones geométricas que le habían dado nacimiento (el problema de los isoperímetros), y confiriéndole mayor generalidad.
En teoría de números Lagrange se ocupó de numerosos problemas: análisis indeterminado de primero y segundo grado, demostración del teorema de Wilson y de que todo número es siempre suma de cuatro cuadrados, etcétera.
Los estudios de Lagrange sobre la teoría de las ecuaciones algebraicas son precursores de la futura teoría de grupos. Utilizó tanto en álgebra como en análisis el algoritmo de las fracciones continuas infinitas. Mediante la hoy llamada "fórmula de Lagrange" dio un método para desarrollar en serie la raíz de una ecuación algebraica o trascendente.
En cuanto a la conocida "fórmula de interpolación de Lagrange" apareció en una memoria de astronomía de 1792, pero volvió a publicarse en trabajos posteriores.
En análisis se ocupó en especial de funciones de varias variables y de ecuaciones con derivadas parciales; le pertenece el método de integración de ecuaciones diferenciales lineales llamado de la "variación de las constantes".
La aplicación de las fracciones continuas a la integración de ecuaciones diferenciales le permitió expresar, mediante una fracción continua infinita, gran parte de las funciones elementales. Lagrange introdujo el cálculo simbólico en el cálculo infinitesimal, llegando de manera puramente simbólica a la fórmula sumatoria de Euler.
En 1797, estando Lagrange en París, se fundó en esa ciudad la Êcole Polytechnique, de la cual fue profesor durante algunos años. Como resultado de sus cursos publicó la Théorie des fonctions analytiques de 1797, aunque la idea fundamental que la informa pertenece a una memoria de 1772, y Leçons sur le calcul des fonctions (1801), tratados en los que expone los principios del cálculo infinitesimal de manera original, aunque no rigurosa.
Con el propósito de evitar los infinitamente pequeños o los incrementos evanescentes, y, al mismo tiempo, independizarlo de toda consideración geométrica o mecánica, funda ese cálculo de manera algebraica tomando como fórmula fundamental la serie de Taylor. Fundado sobre tal desarrollo algebraico denomina "derivadas" (este nombre proviene de Lagrange, así como la notación mediante ápices) a los coeficientes de aquél y con esas "derivadas" desarrolla el cálculo en forma finita. En cuanto al cálculo integral, lo considera inverso del cálculo de derivadas. Aunque tal "método de derivadas" no es riguroso (el fundamento está sin fundamentar) fue mérito de Lagrange haber asignado al teorema de Taylor la importancia que tiene en el análisis. Por lo demás, se le deben dos formas del resto de la fórmula de Taylor, mediante las derivadas y mediante las integrales.
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El "método de derivadas" de Lagrange no dejo de encontrar objeciones entre sus contemporáneos, aunque pasaran inadvertidas hasta la época de Cauchy. Entre los opositores cabe citar al polaco Hoëné Wronski, que se ocupó de numerosas cuestiones de análisis. Hoy se designan con el nombre de "wronskianos" ciertos determinantes funcionales. Pero en verdad la matemática técnica no tenía para Wronski mayor importancia frente a las ideas y el sistema filosófico subyacente, que expuso en numerosas obras, una de las cuales es una refutación a la teoría de las funciones analíticas de Lagrange. Del mismo modo, criticará más tarde las funciones generatrices de Laplace. Es menos en nombre del rigor que en nombre de ese sistema general y metafísico que Wronski, que no deja de ser un buen algorítmico, refuta las pretensiones de Lagrange, quien en su Théorie había sostenido que ella "contiene los principios del cálculo diferencial desprovista de consideración de infinitamente pequeños, de evanescentes, de limites y de fluxiones, y reducida al análisis algebraico de cantidades finitas".
La Mécanique Analytique de Lagrange, de 1788, es una obra que hizo época. En ella la mecánica se considera, más que una ciencia natural, una geometría de cuatro dimensiones (la cuarta dimensión es el tiempo). Partiendo del principio de las velocidades virtuales y utilizando el cálculo de variaciones, se erige el sistema íntegro de la mecánica, donde aparecen el concepto de potencial y el principio de acción mínima, se introducen las coordenadas generalizadas, etcétera. En 1810 Lagrange inició una prolija revisión de su Mécanique, pero la muerte impidió completarla.
Joseph-Louis Lagrange nació el 25 de enero de 1736.
Julio Rey Pastor ya había aparecido por aquí y José Babini en esta entrada.