Instantáneas matemáticas.
Hugo Steinhaus
Salvat Editores S.A. 1987
Páginas 104 a 107.
Para medir longitudes podríamos servirnos de una especie de damero. Sobre una hoja transparente se traza una celosía de líneas rectas que forman cuadrados de 3,82 mm de lado. Una familia de líneas está inclinada 30º con respecto al marco de la hoja. Para medir, pongamos por caso, la longitud del río Mississippi, colocamos el marco de la hoja reticulada sobre el marco del mapa
y viajamos a lo largo del río, desde su nacimiento hasta el mar, como si la punta del lápiz fuera una torre que se desplazara sobre un tablero de ajedrez.
Después de contados los pasos, colocamos la plana cuadriculada con una de sus líneas sobre el marco del mapa, y hacemos como antes; finalmente, procederemos como la primera vez, pero, ahora, con la planilla vuelta del revés. El número total de pasos da la longitud en mm. Dado que el mapa está a escala de 1:15.000.000, tenemos que multiplicar por 15 para tener, en kilómetros, la longitud real del Mississippi.
Para explicar como funciona este longímetro, midamos la longitud de un segmento rectilíneo de L milímetros. El número de pasos de la torre a lo largo del segmento es, sencillamente, cuando tomamos como unidad el lado de los cuadrados, la suma de las proyecciones del segmento en las dos direcciones del retículo. Colocando el longímetro en tres posiciones obtenemos la suma de las proyecciones según seis direcciones diferentes. Es fácil comprender, merced a nuestro dibujo, que estas direcciones forman una estrella, de 30º de abertura entre rayos. Si el segmento formaba inicialmente un ángulo α con una de las líneas del longímetro, los seis ángulos serán
α+0º, α+30º, α+60º, α+90º, α+120°, α+150º
y la suma de las proyecciones será
L{sen(α+0º) + sen(α+30º) + sen(α+60º) + sen(α+90º) + sen(α+120º) + sen(α+150º)}.
Aunque nosotros no conocemos α, encontramos que la expresión anterior es mínima para α=0º y máxima para α=15º. Así pues, el valor mínimo es:
L(0+1/2+√3/2+1+√3/2+1/2)=3,732 L,
y el valor máximo es
=3,864 L
Dado que nuestra unidad mide 3,82, para obtener los resultados en mm, tendremos que dividir por 3,82. Obtenemos ahora 0,997L y 1,011L en lugar de L. Así pues, obtenemos la longitud de cada segmento con error comprendido entre —2,3 y 1,1 por ciento. Dado que podemos imaginar toda curva como compuesta de breves segmentos rectilíneos, el error relativo de su longitud, calculada con el longímetro, no rebasará de tales límites, y en muchos casos será todavía menor. (¿Por qué?)
Admirable este longímetro de Steinhaus. Puedes encontrar algo de información en: este foro de reglas de cálculo o en la wikipedia en inglés.
Hugo Steinhaus nació el 14 de enero de 1887.
