Las probabilidades y la vida.
Émile Borel
Ediciones Orbis, S.A.1986
Páginas 37 a 43.
Cuando hemos enunciado la ley única del azar: «los acontecimientos cuya probabilidad es bastante pequeña nunca se producen», no hemos disimulado la imprecisión del mismo. Es uno de los casos sobre los que no cabe ninguna duda; por ejemplo, el caso del milagro mecanográfico, en el que las obras completas de Goethe son reproducidas por una mecanógrafa desconocedora del alemán y escribiendo a máquina al azar. Pero, entre este caso, difícil en extremo, y aquellos de probabilidades muy pequeñas, a pesar de lo cual su acaecimiento no es inverosímil, hay un gran número de casos intermedios. Vamos a intentar precisar lo más posible qué valores de la probabilidad deben ser considerados como despreciables en estas o aquellas circunstancias.
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Para abreviar, diremos que la probabilidad debe ser despreciable a escala supercósmica, y los cálculos que hemos hecho antes referentes al número de átomos que podrían existir en un Universo cuyas dimensiones alcanzaran miles de millones de años luz, y sobre el número de segundos contenidos en miles de millones de siglos, nos conducirán a señalar en 10-500, es decir, en la unidad dividida por un número de 500 cifras, la probabilidad, despreciable a escala supercósmica, que puede ser tomada igual a cero en el enunciado de una ley científica.
[...]
Comparando el número de accidentes con el de los habitantes de una gran ciudad, hemos designado una millonésima como el valor que razonablemente se puede adoptar para una probabilidad despreciable a escala humana. Llegaríamos a un resultado semejante si centráramos nuestra atención en el número de veces que un hombre puede realizar, a lo largo de toda su vida, gestos o actos muy sencillos, como trazar una letra del alfabeto, avanzar un paso al andar, o respirar. Este número de veces es del orden de un millón en algunas semanas, o en algunos meses, o en algunos años, según la naturaleza y frecuencia del acto considerado.
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Admitiendo que el número de seres humanos es de algunos miles de millones, se considerará despreciable a escala terrestre la probabilidad mil millones de veces más pequeña que la probabilidad despreciable a escala humana, es decir, la mil millonésima parte de una millonésima, o 10-15, la unidad dividida por un número de 15 cifras. Se puede aceptar igual valor considerando a todos los seres humanos que han vivido a lo largo de algunos centenares de siglos, pues su número es apenas mil veces mayor que el número actual de hombres vivos.
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Considerando no ya el globo terrestre, sino la porción del Universo que es accesible a nuestros instrumentos de astronomía y de física, nos veremos llevados a definir las probabilidades despreciables a escala cósmica. Algunas leyes astronómicas, como la de Newton sobre la atracción universal y algunas leyes físicas relativas a la propagación de las ondas luminosas, son verificadas por numerosas observaciones que se efectúan sobre todos los astros visibles. La probabilidad para que una nueva observación contradiga todas estas observaciones concordantes es extremadamente débil. De esta manera, podremos fijar en 10-50 el valor de las probabilidades despreciables a escala cósmica; cuando la probabilidad de un accidente es inferior a este limite, se puede afirmar que el acontecimiento no se producirá en absoluto, cualquiera que sean el número de ocasiones que se presenten en el Universo entero. El número de estrellas observables es del orden de los 1.000 millones, o sea, de 109, y las observaciones que todos los habitantes de la tierra, observando el cielo, podrían hacer de las estrellas a lo largo de los siglos, son ciertamente en número inferior a 1020. Por consiguiente, un fenómeno cuya probabilidad es 10-50 nunca se producirá o, por lo menos, nunca será observado.
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Recordemos que las leyes físicas deducidas de la mecánica estadística (y también las leyes matemáticas deducidas igualmente del cálculo de probabilidades) tienen una certeza incomparablemente mayor aún y pueden caracterizarse diciendo que la probabilidad del acontecimiento contrario es despreciable a escala supercósmica; tales son las probabilidades inferiores a 10—n, cuando n es un número de más de 10 cifras. Si, por ejemplo, se tiene en un recipiente de un litro una mezcla de volúmenes iguales de oxígeno y de nitrógeno, la probabilidad de que en un momento dado todas las moléculas de oxígeno se encuentren en la mitad inferior del recipiente y todas las moléculas de nitrógeno en la mitad superior es, igual a 2—n, siendo n el número de moléculas. Es despreciable a escala supercósmica.
Un cálculo fácil indica que, si evaluamos las dimensiones de nuestro Universo, es decir, la distancia de las galaxias más alejadas, a 10.000 millones de años luz, el volumen de este Universo es inferior a 1085 centímetros cúbicos, conteniendo pues, menos de 10110 átomos, ya que la densidad media es verdaderamente inferior a 1025 átomos por centímetro cúbico.
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Para abreviar, diremos que la probabilidad debe ser despreciable a escala supercósmica, y los cálculos que hemos hecho antes referentes al número de átomos que podrían existir en un Universo cuyas dimensiones alcanzaran miles de millones de años luz, y sobre el número de segundos contenidos en miles de millones de siglos, nos conducirán a señalar en 10-500, es decir, en la unidad dividida por un número de 500 cifras, la probabilidad, despreciable a escala supercósmica, que puede ser tomada igual a cero en el enunciado de una ley científica.
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Comparando el número de accidentes con el de los habitantes de una gran ciudad, hemos designado una millonésima como el valor que razonablemente se puede adoptar para una probabilidad despreciable a escala humana. Llegaríamos a un resultado semejante si centráramos nuestra atención en el número de veces que un hombre puede realizar, a lo largo de toda su vida, gestos o actos muy sencillos, como trazar una letra del alfabeto, avanzar un paso al andar, o respirar. Este número de veces es del orden de un millón en algunas semanas, o en algunos meses, o en algunos años, según la naturaleza y frecuencia del acto considerado.
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Admitiendo que el número de seres humanos es de algunos miles de millones, se considerará despreciable a escala terrestre la probabilidad mil millones de veces más pequeña que la probabilidad despreciable a escala humana, es decir, la mil millonésima parte de una millonésima, o 10-15, la unidad dividida por un número de 15 cifras. Se puede aceptar igual valor considerando a todos los seres humanos que han vivido a lo largo de algunos centenares de siglos, pues su número es apenas mil veces mayor que el número actual de hombres vivos.
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Considerando no ya el globo terrestre, sino la porción del Universo que es accesible a nuestros instrumentos de astronomía y de física, nos veremos llevados a definir las probabilidades despreciables a escala cósmica. Algunas leyes astronómicas, como la de Newton sobre la atracción universal y algunas leyes físicas relativas a la propagación de las ondas luminosas, son verificadas por numerosas observaciones que se efectúan sobre todos los astros visibles. La probabilidad para que una nueva observación contradiga todas estas observaciones concordantes es extremadamente débil. De esta manera, podremos fijar en 10-50 el valor de las probabilidades despreciables a escala cósmica; cuando la probabilidad de un accidente es inferior a este limite, se puede afirmar que el acontecimiento no se producirá en absoluto, cualquiera que sean el número de ocasiones que se presenten en el Universo entero. El número de estrellas observables es del orden de los 1.000 millones, o sea, de 109, y las observaciones que todos los habitantes de la tierra, observando el cielo, podrían hacer de las estrellas a lo largo de los siglos, son ciertamente en número inferior a 1020. Por consiguiente, un fenómeno cuya probabilidad es 10-50 nunca se producirá o, por lo menos, nunca será observado.
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Recordemos que las leyes físicas deducidas de la mecánica estadística (y también las leyes matemáticas deducidas igualmente del cálculo de probabilidades) tienen una certeza incomparablemente mayor aún y pueden caracterizarse diciendo que la probabilidad del acontecimiento contrario es despreciable a escala supercósmica; tales son las probabilidades inferiores a 10—n, cuando n es un número de más de 10 cifras. Si, por ejemplo, se tiene en un recipiente de un litro una mezcla de volúmenes iguales de oxígeno y de nitrógeno, la probabilidad de que en un momento dado todas las moléculas de oxígeno se encuentren en la mitad inferior del recipiente y todas las moléculas de nitrógeno en la mitad superior es, igual a 2—n, siendo n el número de moléculas. Es despreciable a escala supercósmica.
Un cálculo fácil indica que, si evaluamos las dimensiones de nuestro Universo, es decir, la distancia de las galaxias más alejadas, a 10.000 millones de años luz, el volumen de este Universo es inferior a 1085 centímetros cúbicos, conteniendo pues, menos de 10110 átomos, ya que la densidad media es verdaderamente inferior a 1025 átomos por centímetro cúbico.
Émile Borel nació el 7 de enero de 1871.