jueves, 17 de enero de 2013

Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas

Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas.


Martin Gardner



Editorial Labor, S.A. 1988


Páginas 115, 116 y 117.
Autonúmeros 
D. A. Kaprekar es un matemático pequeño de cuerpo pero de mente grande, que vive en la India. Durante más de cuarenta años, ha estado realizando un trabajo sumamente original en los aspectos recreativos de la teoría de números, ayudado en ocasiones por becas de universidades de la India. Colabora con frecuencia en las revistas de matemáticas de aquel país, pronuncia conferencias, y ha publicado cosa de un par de docenas de libritos escritos en inglés chapurreado.
Fuera de la India, la fama de Kaprekar se debe sobre todo a la «constante de Kaprekar», descubierta hace más de veinte años. Se comienza con un número cualquiera de cuatro dígitos, cuyas cifras no sean todas iguales. Se ordenan los dígitos en orden descendente, se invierte su orden, formando así un nuevo número, y se resta el nuevo número del primero. Repitamos el procedimiento con los restos; al cabo de ocho pasos (como máximo) llegaremos a la constante de Kaprekar, 6174, que a partir de ese momento se genera a sí misma. Es preciso respetar los ceros a la izquierda. Si empezamos con 2111 en el primer paso hay que restar 1112, lo que da un resto de 0999. Al reordenar las cifras se obtiene 9990, del cual se resta 0999, y así sucesivamente.
Nos ocuparemos aquí de una notable clase de números, llamados autonúmeros, descubiertos por Kaprekar en 1949. No son pocos los opúsculos que Kaprekar ha escrito acerca de ellos. Apenas si son conocidos fuera de la India, aunque el año pasado aparecieron fugazmente (con otra denominación, en The American Mathematical Monthly, abril de 1974, página 407). El artículo contiene una demostración de la existencia de infinitos autonúmeros.
Para explicar los autonúmeros, lo mejor es comenzar por un procedimiento básico que Kaprekar llama digitadición. Se toma un número positivo cualquiera y se suma con la suma de sus cifras. Sea el número 47. La suma de 4 y 7 es 11, y 47 más 11 son 58. El nuevo número, 58, recibe el nombre de número generado. El número original, 47, es el generador. El proceso puede repetirse indefinidamente, formando una serie de digitadición: 47, 58, 71, 79, 95...
Nadie ha logrado aún hallar una fórmula no recurrente de la suma parcial de una serie de digitadición a partir de sus términos primero y último, pero sí existe una fórmula simple que da la suma de todos los dígitos de una serie de digitadición. Basta, sencillamente, restarle el primero al último de los números y añadir la suma de las cifras del último número. «¿No es un resultado nuevo y maravilloso? —pregunta Kaprekar en uno de sus opúsculos—. La Demostración de esta regla es muy sencilla y la tengo aquí escrita. Pero en cuanto uno la ve se pierde el encanto de todo el proceso, y por eso no quiero darla.»
¿Podrá tener un número generado más de un generador? Sí, pero no hasta que el número pase de 100. El mínimo de tales números (al que Kaprekar llama número de cruce) es 101. Tiene dos generadores: 91 y 100. El mínimo de los números de cruce que tiene tres generadores es 10 000 000 000 001. Está generado por 10 000 000 000 000, por 9 999 999 999 901 y por 9 999 999 999 892. El número más pequeño que admite cuatro generadores, descubierto por Kaprekar el 7 de junio de 1961, tiene 25 cifras. Es un 1 seguido de 21 ceros y 102. Desde entonces, Kaprekar ha descubierto lo que piensa son los mínimos de los números con cinco o seis generadores.
Un autonúmero es sencillamente un número que no tiene generadores. Con la terminología de Kaprekar, «nace de sí mismo». Aunque hay una infinidad de tales números, son mucho más escasos que los números generados. Hay trece autonúmeros menores que 100: 1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86 y 97. Los autonúmeros que sean primos se llaman autoprimos. El conocido número cíclico 142 857 es un autonúmero (al multiplicarlo por los dígitos de 1 a 6 se obtienen siempre esos seis mismos dígitos en el mismo orden cíclico). Los números 11 111 111 111 111 111 y 3 333 333 333 son autonúmeros. Entre los años de este siglo que corresponden a autonúmeros, tenemos 1906, 1917, 1919, 1930, 1941, 1952, 1963 y 1974.
Fijémonos en las potencias de diez. El número 10 está generado por 5; el 100, por 86, el 1000 por 977, el 10 000 por 99689, y el 100 000 por 99959. ¿Por qué son los millonarios personajes tan importantes? ¡Porque 1 000 000 es un autonúmero!, responde Kaprekar. La siguiente potencia de 10 que es un autonúmero es 1016.
Nadie ha descubierto todavía una fórmula no recursiva que genere la totalidad de los autonúmeros, pero Kaprekar tiene un sencillo algoritmo con el que verificar si un número cualquiera es nacido de sí mismo o es generado. Se pide a los lectores que traten de descubrir el procedimiento. De lograrlo, les resultará fácil responder a esta pregunta: ¿cuál será el primer año autonúmero, después de 1974?








Esta vez las preguntas no son tan fáciles y el libro contiene las respuestas. ¿Necesitas alguna pista?
Dattatreya Ramachandra Kaprekar nació el 17 de enero de 1905.
Martin Gardner ya apareció varias veces por aquí

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