Miguel de Guzmán Ozámiz
Grupo Anaya S.A.2003
Páginas 117 y 118.
EL PRINCIPIO DEL PALOMAR
El principio del palomar, llamado más solemnemente principio de Dirichlet, se basa en la sencilla observación siguiente:
Estás sentado en un banco en el parque. A tu alrededor unas cuantas palomas picotean afanosamente. Las cuentas. Son 10. De repente, un niño las asusta. Salen todas volando y se meten por los 8 agujeros de un palomar próximo. ¿Qué puedes deducir? Es claro que al menos dos se han metido por un mismo agujero. Incluso podrías decir algo más, pero esto es ya suficientemente interesante en muchos casos.
Dirichlet, un excelente matemático del siglo XIX, utilizó este principio con destreza para obtener resultados profundos en Teoría de Números. Te puede dar una idea de su utilización el siguiente problema.
Ejemplo. Ciudadanos con el mismo número de pelos
No hay cabeza humana en la que haya 200 000 pelos. Imagina una ciudad en la que haya alrededor de 3 millones de habitantes. Demuestra que hay al menos 10 de ellos que tienen el mismo número de pelos. ¿Puedes asegurar que hay muchos más con el mismo número de pelos?
Te haces un palomar con 200 001 agujeros. El agujero 1 es para los calvos absolutos, O pelos; el agujero 2 es para los que tienen 1 pelo; ...; el agujero 200 001 es para los que pudieran tener 200 000 pelos. Se van metiendo los ciudadanos en su correspondiente agujero y... Trata de razonar para demostrar el resto.
EJERCICIOS
1. Vecinos en un triángulo equilátero
Dibujar un triángulo equilátero de lado 2 cm. Demostrar que es seguro que si eliges 5 puntos situados dentro del triángulo, al menos dos de ellos distan entre sí 1 cm o menos.
2. Doce enteros
Te dan doce números enteros. Demostrar que con seguridad hay dos de ellos cuya diferencia es un múltiplo de 11.
3. Mucho triángulo
Dibujar a lápiz una circunferencia y marcar seis puntos sobre ella. Coger dos bolígrafos, uno rojo y otro azul. Escoger un par de puntos entre los seis marcados en la circunferencia y pintar con uno de los bolis el segmento que determinan. Repetir este procedimiento hasta que se terminen todos los pares de puntos. Demostrar que, se haga como se haga, al final siempre resulta que al menos tres de los puntos determinan un triángulo con los lados del mismo color.
En el libro no vienen las soluciones pero puedo dar pistas...
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet nació el 13 de febrero de 1805.
Miguel de Guzmán ya estuvo por aquí.