Euler

Euler. El maestro de todos los matemáticos.

William Dunham


Nivola libros y ediciones, S.L. 2000



Página 158, 159 y 160.
   Euler describió a √-1 en sus Elementos de Álgebra como "...ni nada, ni más grande que nada, ni menos que nada..." y observó

"... somos llevados hacia la idea de números que son imposiblespor su propia naturaleza y que, por tanto, son habitualmente llamados cantidades imaginarias, ya que existen únicamente en la imaginación."

   Por si acaso alguien lo interpretaba como una condena, continuó:

"... no obstante, estos números aparecen en nuestra mente, existen en  nuestra imaginación y tenemos suficiente idea de ellos; ... nada nos impide hacer uso de estos números imaginarios y emplearlos en el cálculo"

   En comparación con las despreciativas palabras de Bombelli, Descartes y Leibniz esto parece un respaldo incondicional. Y ciertamente cumplió su promesa de utilizarlos en su investigación.
   Por ejemplo, en un articulo de 1751 exploró lo que hoy llamamos las raíces de la unidad. El número 1 (es decir, la unidad) tiene dos raíces cuadradas ±1 obtenidas resolviendo x²-1=0. De la misma forma, Euler observó que la unidad tiene tres raíces cúbicas, que son las soluciones de

0=x³-1=(x-1)(x²+x+1)

   Del primer factor obtenemos x=1. Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado al segundo factor se obtiene

   Si alguien duda de que éstas sean las raíces cúbicas de 1 sólo tiene que operar y verificar que

   ¿Por qué detenerse aquí? Al considerar x⁴-1=0, Euler mostró que las cuatro raíces cuartas de la unidad son 1, -1, √-1 y -√-1. Algo más difícil le resultó identificar las cinco raíces quintas de la unidad, es decir, las soluciones de x⁵-1=0, como:    

   Cuatro de estas cinco raíces son imaginarias. Merece la pena destacar que Euler ni pedía disculpas ni estaba acosado por las dudas sobre la validez de estas respuestas. Para él, los números imaginarios se habían convertido en compañeros habituales en su aventura matemática.

   Como veremos, Euler encontró un magnífico atajo para encontrar las raíces de la unidad o las de cualquier otro número, real o complejo. Con él le fue posible mostrar que

"cualquier cantidad tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas y así sucesivamente"

Euler nació el 15 de abril de 1707.
W. Dunham ya aparecio por aquí.