Matemática elemental desde un punto de vista superior. Aritmética·Álgebra·Geometría.
Felix Klein
Nivola libros y ediciones, S.A. 2006
Páginas 51, 52 y 53.
En la actualidad tenernos las llamadas reglas de los paréntesis para las operaciones con números positivos, que, naturalmente, están contenidas en las ya expuestas propiedades fundamentales siempre que se incluyan las correspondientes a la sustracción. Pero me gustaría adentrarme en ellas más en detalle mediante dos ejemplos que nos muestran, sobre todo, la posibilidad de demostraciones sumamente sencillas e intuitivas para ellas, demostraciones que consisten sólo en ver su representación y en decir: "¡Mira!", como era costumbre entre los antiguos hindúes.
1) Sean a>b y c>a, donde a,b,c son positivos. Entonces a‑b es un número positivo y es más pequeño que c; es decir, el número c‑(a
‑ b) debe ser positivo. Si representemos los números sobre el eje de abscisas veremos que el segmento entre b y a, tiene la longitud a‑b. Un vistazo a la figura adjunta muestra que si restamos a c el segmento a‑b se obtiene lo mismo que si primero hubiéramos quitado completo el segmento a y luego agregásemos la parte b; es decir:
c‑(a‑b)=c‑a+b (1)
2) Sean a>b y c>d; y, por tanto, a‑b y c‑d son números enteros positivos. Queremos ver que pasa con el producto (a‑b)(c‑d). Para ello trazamos un rectángulo de lados a‑b y c‑d, cuya área es el número buscado (a‑b)(c‑d) y que forma parte del rectángulo de lados a y c.
Para obtener aquél partiendo de éste último rectángulo, quitaremos el rectángulo superior, que aparece rayado horizontalmente, cuya área vale ad, y después el rectángulo, con rayado vertical, de la derecha, bc. Pero haciendo lo anterior hemos quitado dos veces el rectángulo bd y debemos sumario una. Todas estas operaciones expresan precisamente la conocida fórmula
(a‑b)(c‑d)=ac‑ad‑bc+bd (2)
Observemos que con la introducción de los números negativos, sobre la base de las operaciones con letras, se manifiesta claramente la facultad de generalización de que está dotada la mente humana, por virtud de la cual, sin darnos cuenta de ello, nos sentirnos involuntariamente inclinados a extender y aplicar a cuestiones más generales conceptos y reglas deducidos y válidos para casos particulares. Esta generalización fue enunciada por primera vez como un principio guía de la aritmética por Hermann Hankel en su muy interesante y recomendable obra Theorie der komplexen Zahlsysternem [Teoría de los sistemas complejos de números] con el nombre de "Principio de permanencia de las leyes formales". Este principio, aplicado al caso que ahora nos ocupa de la transición a los números negativos, nos diría que nos gustaría prescindir en las fórmulas (1) y (2) de las asunciones expresas sobre la magnitud relativa de a y b y aplicarlas en otros casos. Si, por ejemplo, hacemos a=c=0, en la fórmula (2), caso para el que la fórmula no está demostrada, se obtiene (‑b)(‑d)=+bd, es decir, la regla de los signos de la multiplicación de números negativos. De este modo podemos deducir, casi sin demostración, todas las reglas que, siguiendo la misma línea de pensamiento, podríamos calificar de asunciones casi necesarias, y que, realmente, son necesarias si se quiere que las antiguas reglas sean válidas para los nuevos entes. Ciertamente que esto no satisfizo a los matemáticos antiguos y su descontento encontró su expresión en nombres como números imaginarios, números falsos, etc. que dieron a los números negativos. Pero a pesar de todos estos reparos los números negativos fueron cada vez más reconocidos en los siglos XVI y XVII y llegaron a obtener una aceptación cada vez más general porque se justificaban por su utilidad.
Felix Christian Klein nació 25 de abril de 1849.
