Martin Gardner
Selector actualidad editorial. 1990
Páginas 93, 94 y 95.
La teoría de la probabilidad es un campo de las matemáticas extraordinariamente rico en paradojas - verdades que van tan fuertemente en contra de la que dice el sentido común que resulta difícil creerlas aun después que uno se enfrenta a sus pruebas. La paradoja de las fechas de nacimiento es un ejemplo de oro. Si se seleccionan al azar 24 personas, ¿cuál estima usted que sería la probabilidad de que dos o más de ellas tengan la misma fecha de nacimiento (es decir, el mismo día y mes)? Intuitivamente usted siente que sería muy baja. En realidad, es de 27/50, o sea ¡ligeramente más del 50 por ciento!
George Gamow, en Uno dos tres - infinito da el siguiente método sencillo para llegar a este resultado inesperado. La probabilidad de que tos cumpleaños de dos personas cualesquiera no sean iguales es, claramente, de 364/365 (puesto que hay una sola posibilidad en 365 de que el cumpleaños de una persona coincida con el de la otra). La probabilidad de que el cumpleaños de una tercera persona difiera del de las otras dos es de 363/365, la de una cuarta persona, 362/365, y así sucesivamente hasta que llegamos a la persona 24a. (342/365). Por lo tanto obtenemos una serie de 23 fracciones que se deben multiplicar todas para alcanzar la probabilidad de que los 24 cumpleaños sean diferentes. El producto es una fracción que se reduce a cerca de 23/50. En otras palabras, si usted tuviera qu apostar sobre por lo menos una coincidencia entre las fechas de nacimiento de 24 personas, a la larga ganaría 23 y perdería 27 de cada 50 apuestas. (Este cálculo ignora el 29 de febrero y también el hecho de que las fechas de nacimiento tienden a concentrarse más en ciertos meses que en otros.) En realidad, la probabilidad es de .507+, o sea ligeramente mayor que 1/2, de que haya una coincidencia entre 23 personas.
Estas probabilidades son tan sorprendentes que hacer la prueba en la realidad, en un Salón de clase o en una reunión social, resulta una diversión entretenida. Si están presentes 23 o más personas, cada persona debe escribir su cumpleaños en un pedazo de papel. Reúnalos y compárelos. Lo más probable es que por lo menos dos fechas sean iguales, muchas veces ante el asombro de las dos partes interesadas que quizá se han conocido durante años. Afortunadamente, no importa en absoluto si alguien hace trampa y da una fecha incorrecta. Las probabilidades siguen siendo exactamente las mismas.
Páginas 97, 98 y 99.
La paradoja del segundo as es quizá más sorprendente. Supongamos que está jugando al bridge y cuando acaban de dar las cartas usted mira su mano y anuncia "Tengo un as". Se puede calcular con precisión la probabilidad de que tenga un segundo as. Es de 5359/14498, que es menos de 1/2. No obstante, supongamos que todos se ponen de acuerdo acerca de un as en particular, digamos el As de Espadas. El juego sigue, hasta que usted recibe una mano que le permite decir "Tengo el As de Espadas". Ahora la probabilidad de que usted tenga otro as es de 11686/20825, ¡o ligeramente mayor que 1/2! ¿Por qué haber nombrado el as afectó las probabilidades?
Una paradoja similar es la del segundo hijo. El señor Smith dice: "Tengo dos hijos y por lo menos uno es un varón" . ¿Cuál es la probabilidad de que el otro hijo sea un varón?
Páginas 99 a 104.
La más famosa de todas las paradojas de la probabilidad es la paradoja de San Petersburgo, expuesta por primera vez en un documento por el famoso matemático Daniel Bernoulli ante la Academia de San Petersburgo. Supongamos que echo al aire un centavo y acepto pagarle a usted un dólar si cae cara. Si sale cruz, tiro de nuevo, pagándole esta vez dos dólares si la moneda es cara. Si cae cruz nuevamente, tiro una tercera vez y le pago cuatro dólares si sale cara. Resumiendo, ofrezco pagar una pena doble con cada tiro, y sigo hasta que estoy obligado a pagar. ¿Cuánto pagaría usted por el privilegio de jugar conmigo este juego unilateral?
La respuesta increíble es que usted podría pagarme cualquier cantidad, digamos un millón de dólares, por cada juego, y seguir esperando que salga cara. En cada juego por separado hay una probabilidad de 1/2 de que gane un dólar, 1/4 de que gane dos dólares, 1/8 de que gane cuatro dólares, etcétera. Por lo tanto el total que puede esperar ganar es (1x1/2)+(2x1/4)+(4x1/8)... La suma de esta serie inacabable es infinita. En consecuencia, no importa qué suma finita me haya pagado por adelantado por juego, usted ganaría al final si jugáramos las veces suficientes. Esto supone que yo tengo un capital ilimitado y que podemos jugar un número ilimitado de veces. Si usted pagó, digamos que $1,000 por un juego, hay grandes probabilidades de que usted pierda. Pero esta expectativa está más que equilibrada por el hecho de que tiene una oportunidad, por pequeña que sea, de ganar una suma astronómica gracias a una serie larga e ininterrumpida de cruces. Si yo tengo sólo una suma finita de capital, lo que en la práctica siempre sucederá, entonces el precio justo por un juego también es finito. La paradoja de San Petersburgo está involucrada en cualquier sistema de apuestas que se "doblan", y su análisis completo lleva a toda suerte de caminos poco frecuentados.
Carl G. Hempel, una figura prominente de la escuela "lógica-positivista", y ahora profesor de filosofía de la universidad de Princeton, descubrió otra sorprendente paradoja probabilistica. Desde que la explicó por primera vez en 1937 en el periódico sueco Theoria, "la paradoja de Hemper" ha sido objeto de muchas discusiones eruditas entre los filósofos de la ciencia, porque llega al corazón mismo del método científico.
Supongamos, comenzaba Hempel, que un científico desea investigar la hipótesis "Todos los cuervos son negros". Su investigación consiste en examinar tantos cuervos como sea posible. Cuantos más cuervos negros encuentra, tanto más probable es la hipótesis. Por lo tanto, cada cuervo negro puede ser visto como una "instancia confirmatoria" de la hipótesis. La mayoría de los científicos cree tener una noción perfectamente clara de lo que es una "instancia confirmatoria". La paradoja de Hempel destruye rápidamente esta ilusión, porque podemos probar fácilmente, con lógica inobjetable, ¡que una vaca púrpura también es una instancia confirmatoria de la hipótesis de que todos cuervos son negros! Así es como se hace.
Se puede transformar la afirmación "Todos los cuervos son negros", por un proceso que los lógicos llaman "inferencia inmediata", en la afirmación lógicamente equivalente, "Todos los objetos que no son negros no son cuervos". La segunda afirmación es idéntica en significado a la original, simplemente esuna formulación verbal diferentes. Obviamente, el descubrimiento de cualquier objeto que confirme la segunda afirmación también debe confirmar la primera.
Supongamos entonces que el científico busca alrededor objetos que no son negros para confirmar la hipótesis de que todos esos objetos no son cuervos. Se encuentra con un objeto púrpura. Una inspección más detenida revela que no es un cuervo sino una vaca. La vaca púrpura es, claramente, una "instancia confirmatoria" de que "Todos los objetos que no son negros no son cuervos". Por supuesto, el mismo argumento se aplica a un elefante blanco o a un arenque rojo o a la corbata verde del científico. Como dijo recientemente un filósofo, un ornitólogo que investigara el color de los cuervos podría continuar su estudio los días lluviosos sin humedecerse los pies. ¡Sólo tiene que echar una mirada alrededor de su cuarto y notar los ejemplos de objetos que no son negros y que no son cuervos.
Curioso lo del "As de espadas".
Sabes cuál es la probabilidad de que el otro hijo del señor Smith sea un varón.
Martin Gardner murió el 22 de mayo de 2010, ahora hace tres años.
Ya apareció por aquí en varias ocasiones, la última aquí.