D'Arcy Thompson
Cambridge University Press. 2003
Páginas 114 a 120.
La celdilla de las abejas
La más famosa de todas las conformaciones hexagonales, y una de las más hermosas, es la celdilla de las abejas. Como en el basalto o el coral, tenemos que tratar con un conjunto de cilindros iguales entre sí, de sección circular, comprimidos en prismas hexagonales regulares; pero en este caso, tenemos dos capas de esos cilindros o prismas, uno mirando en una dirección y el otro en la otra, y surge un nuevo problema en conexión con sus extremos internos. Podemos suponer que los cilindros originales tienen extremos esféricos, lo que constituye su forma normal y simétrica de terminación; así pues, para un empaquetamiento más compacto, es obvio que el extremo de cualquier cilindro de una capa tocará, y encajará entre, los extremos de tres cilindros en la otra. Es exactamente igual a cuando apilamos balas de cañón en un montón; empezamos con tres, una cuarta encaja entre las otras tres y la cuarta forma una «tétrada», o disposición tetragonal regular.
Por tanto, igual de obvio como era que, mediante presión mutua de los lados de seis células adyacentes, una célula cualquiera sería estrujada en un prisma hexagonal, también lo es que, mediante presión mutua contra los extremos de tres vecinas opuestas, el extremo de todas las células se comprimirá en una pirámide triédrica. Los tres lados de esta pirámide se ajustan, en proyección plana, a ángulos iguales de 120º; pero los tres ángulos apicales (como en el caso análogo ya descrito de un sistema de burbujas de jabón) son por la geometría del caso, ángulos iguales de 109° y tantos minutos y segundos.
Si experimentamos, no con cilindros sino con esferas; si por ejemplo apilamos bolas de pan y luego sometemos el conjunto a una presión uniforme, como dentro de poco veremos que hizo Buffon: cada bola (como las semillas en una granada, como dijo Kepier) estará en contacto con otras doce (seis en su propio plano, tres por debajo y tres por encima; y, bajo compresión, desarrollará doce superficies planas). Repetirá, por encima y por debajo, las condiciones a las cuales está sujeta la celdilla de la abeja tan solo en un extremo; y, dado que la esfera está situada simétricamente hacia sus vecinas en todos los lados, se deduce que las doce caras planas a las que ha sido reducida su superficie serán todas similares, iguales y estarán similarmente situadas. Además, dado que hemos producido este resultado apretando nuestras esferas originales unas contra otras, es evidente que los cuerpos así formados llenarán completamente el espacio. El sólido regular que satisface todas estas condiciones es el dodecaedro rómbico. La celdilla de la abeja es esta figura incompletamente formada; representa, por así decirlo, la mitad de esta figura con su ápice y las seis esquinas adyacentes propias del rombododecaedro, pero seis lados prolongados, como un prisma hexagonal, hasta un extremo abierto o inacabado.
[...]
Pappus el alejandrino nos ha dejado un informe de su plan hexagonal, y extrajo de él la conclusión de que las abejas estaban provistas de un «cierta previsión geométrica». «Habiendo, pues, tres figuras que por sí mismas pueden llenar el espacio alrededor de un punto, verbigracia, el triángulo, el cuadrado y el hexágono, las abejas han seleccionado sabiamente 'la estructura que contenía más ángulos, sospechando que en realidad podría contener más miel que cualquiera de las otras dos». Erasmo Bartholin fue aparentemente el primero en sugerir que la hipótesis de la «economía» no estaba justificada, y que la celdilla hexagonal no era sino el resultado necesario de presiones iguales, afanándose cada abeja por hacer su pequeño círculo lo más grande posible.
La investación de los extremos de la celda era una cuestión más difícil que la de sus lados, y vino después. [...]
Kepler había deducido de la simetría llenadora de espacio del panal que sus ángulos deben ser los del rombododecaedro; y Swammerdam reconoció también la misma figura geométrica en la base de la célula. Pero el descubrimiento de Kepler pasó desapercibido, y se reconoce a Maraldi el astrónomo, sobrino de Cassini, el mérito de establecer por primera vez la forma de los rombos y del ángulo sólido que limitan, mientras miraba abejas en «les ruches vitrées dans le jardín de M. Cassini attenant l'Observatoire de Paris». Los ángulos del rombo, nos dice, son 110º y 70º. [...]
El siguiente paso fue el que había presagiado mucho antes Pappus. Aunque Euler no había publicado todavía su famosa disertación sobre las curvas maximi minimive proprietate gaudentes, la idea de máxima y mínima estaba en el aire como postulado orientador, un método heurístico, que se usaría como Maraldi había utilizado su principio de simplicidad. Así se le ocurrió a Réaumur, como aparentemente no se le había ocurrido a Maraldi, que una configuración mínima, y la consiguiente economía de material en las paredes céreas de la celdilla, pudiera estar en la raíz de la cuestión: y esto, igual que los hexágonos compactamente empaquetados daban la extensión mínima de límite en un plano, de modo que la figura determinada por Maraldi, fundamentalmente el rombododecaedro, podría ser la que emplea el mínimo de superficie para un contenido dado: o que, en otras palabras, debe contener más miel para menos cera. [...]. Planteó el problema a Samuel Koenig, un joven matemático suizo: dada una celda hexagonal terminada en tres rombos similares e iguales, ¿cuál es la configuración que requiere la menor cantidad de material para su construcción? Koenig confirmó la conjetura de Réaumur, y propuso los ángulos de 109º 26' y 70º 34' como los que debían satisfacer la condición [...]. Koenig afirmaba que las abejas habían resuelto un problema que iba más allá del alcance de la antigua geometría y que exigía los métodos de Newton y Leibniz. Después de lo cual, Fontenelle, como Sécretaire Perpétuel, recapituló la cuestión en una frase famosa, en la cual negaba inteligencia a las abejas, pero encontraba sin embargo que utilizaban a ciegas las matemáticas más elevadas por orientación y orden divinos.
Cuando Colin Maclaurin estudió el panal en Edimburgo, unos pocos años después que Maraldi en París, procedió a resolver el problema sin utilizar «ninguna Geometría superior que fuera conocida por los antiguos», y empezó su informe diciendo: «estas bases se forman a partir de tres rombos iguales, cuyos ángulos obtusos se ha encontrado que son los dobles de un ángulo que a menudo se ofrece a los matemáticos en las Cuestiones relativas a los Máximos y los Mínimos». Era un ángulo de 109º 28' 16", con su suplemento de 70º 31' 44". Y este ángulo de la celda de las abejas determinado por Maraldi, Koenig y Maelaurin en sus varias formas, este ángulo que tiene por coseno 1/3 y que es doble del ángulo que tiene por tangente r2, es por un lado un ángulo del rombododecaedro, y por otro lado el mismo ángulo de simetría tetraédrica simple que adoptan espontáneamente las películas jabonosas dentro de la jaula tetraédrica, y cuya aparición frecuente y amplia importancia ya hemos mencionado.
Que «los ángulos teóricos verdaderos eran 109º 28' y 70º 32', que se corresponden precisamente con la medida real de la celdilla de la abeja», y que las abejas habían «demostrado estar en lo cierto y los matemáticos equivocados», fue creído por muchos durante largo tiempo. [...] El hecho es que, aunque los ángulos y las caras del panal fueran tan agudos y lisos, y tan constantes y uniformes, como los de cristal de cuarzo, sería aún una cuestión delicada medir los ángulos dentro de un minuto o dos de arco, y se precisaría una técnica desconocida en los tiempos de Maraldi para hacerlo. El minutero de un reloj (si se mueve de manera continua) atraviesa un grado de arco en 10 segundos y un ángulo de dos minutos en un tercio de segundo: este último es el ángulo que se supone que ha medido Maraldi. Era ochenta años después de que Maraldi le hubiera dicho a Réaumur que el ángulo era el que Boscovich había señalado por primera vez que determinar una aproximación al minuto mediante medidas directas de la celdilla cérea era totalmente imposible. Sin embargo, Réaumur había creído ciertamente y en apariencia había persuadido a Koenig, de que las determinaciones de Maraldi, por encima de todo, eran el resultado de medición [...]
Las propiedades mínimas de la celdilla, y todo el razonamiento geométrico en este caso, postula paredes de celdilla uniformemente tenues y bordes que son matemáticamente rectos. Pero las paredes, y aún más sus bordes, están siempre engrosados; los bordes nunca son exactamente rectos, ni las celdillas estrictamente horizontales. La base es siempre más gruesa que las paredes laterales; sus ángulos sólidos no son en modo alguno agudos, sino que están llenos de superficies curvas de cera, a la manera, pero más toscamente, del cordoncillo de Plateau. Por consiguiente, el ángulo de Maraldi rara vez o nunca se alcanza; el valor medio (según Vogt) no es superior a 106,7º para las obreras y 107,3º para los zánganos. Los ángulos hexagonales del prisma son bastante constantes; aproximadamente 4º es el límite de desviación y alrededor de 1,8° el error medio, a cada lado.
D'Arcy Wentworth Thompson nació el 2 de mayo de 1860.
El tema de los panales de las abejas ya apareció aquí.