Las matemáticas en imagénes

Las matemáticas en imágenes.


Yu. P. Popov, Yu. V. Pujnachev


Editorial Mir Moscú. 1991



Página 167 y 168.
   En un triángulo isósceles está inscrito un círculo. En el espacio sobre él, el segundo círculo que es tangente al primero así como a los lados laterales del triángulo. En el espacio sobre el segundo hay un tercero. Así todo el ángulo bajo el vértice del triángulo se va llenando sucesivamente de nuevos círculos con radios que son cada vez menores. Su número es ilimitado.

   Si se traza una horizontal entre los dos primeros círculos, ésta cortará del triángulo uno semejante a éste. Las leyes de semejanza dicen: el diámetro del segundo círculo es al diámetro del primero, como el diámetro del tercero al diámetro del segundo, etc. Esta relación constante es menor que la unidad. Los diámetros de los círculos conforman, una progresión geométrica decreciente sin límite alguno.
   Ahora viene la pregunta: ¿qué ocurrirá si sumamos sucesivamente los diámetros de los círculos? ¿A qué equivale la suma de semejante serie infinita?
   Si ustedes han olvidado la fórmula escolar para la suma de las progresiones geométricas infinitamente decrecientes, no se disgusten. En este ejemplo se puede prescindir de las fórmulas. Sólo se necesita darles un cuarto de vuelta a los círculos de tal manera que sus diámetros queden en posición vertical. La suma infinita resultará igual a una magnitud del todo finita: la altura del triángulo.
   Y ustedes de nuevo podrán cerciorarse de que la suma infinita de los términos de una cierta sucesión puede representar una magnitud del todo finita.

Página 176, 177, 178 y 179.

   La trisección del ángulo, la duplicación del cubo, la cuadratura del círculo, he aquí los tres problemas insidiosos que plantearon los matemáticos de la antigüedad y que posteriormente devinieron sinónimos de insolubilidad.
   ¿Pero son en verdad irresolubles? Digamos, la cuadratura del círculo: nosotros la cumpliremos ahora mismo con la ayuda de un procedimiento nada complicado.
   Así pues, sea que esté dado un círculo con 
radio R. Se exige, utlizando tan sólo el compás y la regla, construir un cuadrado o rectángulo de igual área.
   El área de un círculo con radio R se expresa como
p R². Si nosotros lográsemos construir un rectángulo con los lados R y  p  R, la cuadratura del círculo estaría cumplida.

Pero he aquí el quid de la cuestión: ¿cómo trazar un segmento de longitud  p  R? ¿Cómo aumentar  p veces el radio del círculo dado en el planteamiento del problema?
   Si el número p fuese racional, si se expresase por la relación de dos números enteros, todo sería muy sencillo. El radio del círculo lo aumentaríamos en tantas veces como el numerador, y después disminuiríamos el resultado en tantas veces como el denominador y obtendríamos lo buscado. La geometría escolar sabe cómo aumentar o disminuir el segmento en cualquier número de veces.
   ¡Mas qué le vamos a hacer! El número  p es irracional...
   Y aquí recurre en ayuda la serie numérica, parecida a aquella con la cual entablamos conocimiento al pesar los melindres.

p/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...

Interpretemos esa línea de números como guía para la acción. Del segmento igual al radio de nuestro círculo restamos su tercera parte, al resultado le añadimos la quinta parte, de lo que obtenemos le restarnos la séptima parte y así sucesivamente. Cuesta mucho trabajo, pero tarde o temprano nosotros, con cualquier precisión elegida de antemano, trazaremos el segmento de longitud 1/4  p R . Lo aumentamos en 4 veces, y, acto seguido, sobre él construimos, tomándolo como base, un rectángulo de altura R, precisamente el área de éste será igual al área de nuestro círculo.
   ¡La cuadratura del circulo quedó cumplida! 

¿Acaso el problema sobre el cual se habló tanto tiempo en matemáticas, a pesar de todo, es resoluble y, además, tan sencillamente?
   Confesamos que hemos hecho una pequeña falsificación. El enunciado clásico del problema sobre la cuadratura del círculo presupone que la tarea deberá resolverse con ayuda del compás y la regla en un número finito de operaciones, y además, exactamente. En cambio, nuestro procedimiento es  aproximado. No obstante, permite acercase al fin que nos planteamos con cualquier precisión reglamentada de antemano, recurriendo a acciones sencillas.

Dos ejemplos bonitos para pensar.