Lluís A. Santaló
Editorial Ariel, S. A. 1994
Páginas 76 a 79.
En la época de Galileo (1564-1642) estaba en boga el juego de dados llamado pasadiez, que consistía enlanzar tres dados a la vez y sumar los puntos resultantes. El jugador ganaba si la suma resultaba superior a diez y perdía en caso contrario (es decir, si la suma era igual o menor que diez).
Es fácil ver que el juego es equitativo, es decir, que la probabilidad de ganar es igual a la de perder. En efecto, puesto que los puntos situados en las caras opuestas de un dado siempre suman 7 en cualquier posición que queden los dados, la suma de los puntos de las caras superiores más la suma de los puntos de las caras inferiores vale siempre 21. Por tanto, si la suma de los puntos de las caras superiores es mayor que 10, la suma de los puntos de las caras inferiores ha de ser igual o menor que 10, y recíprocamente. Por consiguiente, a cada caso favorable le corresponde un caso no favorable, lo que significa que hay igual número de unos y de otros y que, por tanto, la probabilidad de ambos es la misma.
El hecho que extrañaba, y que un aficionado a este juego no sabía explicarse -si bien debía ser un observador fino-, era que en la suma de los puntos de los tres dados, el número 11 salía con más frecuencia que el 12,y el 10 con más frecuencia que el 9, a pesar de que todos estos números podían obtenerse como resultado de seis combinaciones diferentes. Así, el 9 se puede obtener de las seis combinaciones (1, 2, 6), (1, 3, 5), (1, 4, 4), (2, 2, 5), (2, 3, 4), (3, 3, 3); el 10 de (1, 3, 6), (1, 4, 5), (2, 2, 6), (2, 3, 5), (2, 4, 4), (3, 3, 4), y análogamente con el 11 y el 12. Según opinaba el jugador, si los cuatro números 9, 10, 11 y 12 se podían formar con el mismo número de combinaciones (seis), entonces cada uno debería salir con la misma frecuencia. Comoquiera que esto último no era confirmado por la práctica, recurrió a Galileo, el científico más famoso de su época, para pedirle su opinión sobre la aparente paradoja.
La explicación de Galileo fue sencilla [...] y calcula con facilidad que la probabilidad de que la suma valga 10 u 11 vale 0,125, y que la probabilidad de que la suma valga 9 o 12 vale 0,1157, número que es, en efecto, menor que el anterior. Lo destacable del caso es que, aun siendo la diferencia entre las dos probabilidades sólo de una centésima, fuese, no obstante, apreciada experimentalmente por el jugador, lo que prueba tanto la exactitud del teorema de Bernoulli (según el cual la probabilidad coincide con la frecuencia), como la precisión que se alcanza en estas cuestiones a partir de una práctica continuada y una condición de observador agudo.
[...] Se considera que los primeros que utilizaron métodos matemáticos indirectos fueron los grandes matemáticos Fermat y Pascal, en una correspondencia que ambos mantuvieron en el año 1654 (Oeuvres de Fermat, vol. II, p.296, carta de Pascal a Fermat del 29 de julio de 1654). En esta carta, Pascal explica a Fermat el problema que le había propuesto un tal Caballero de Meré, jugador hábil, pero no matemático, según el propio Pascal.
“No tengo tiempo -dice la carta- de enviarle la demostración de una dificultad que asombraba en gran medida al señor de Meré, que es un espíritu fino, pero no geómetra (lo cual, como usted sabe, es un gran defecto) y que no sólo no comprende que una línea matemática sea divisible hasta el infinito, sino que cree entender que está compuesta por puntos en número finito, y nunca le he podido sacar de ahí. Si usted lograra hacerlo, le haría perfecto. El me decía, pues, que había hallado falsedad en los números por la siguiente razón:
-Si uno acepta sacar el 6 con un dado, la ventaja de aceptar por cuatro jugadas es como 671 a 625.
-Si uno acepta hacer sonnés (sacar dos seises de una sola vez) con dos dados, hay desventaja en aceptar por 24 jugadas. No obstante, 24 es a 36 (que es el número de posibilidades con los dos dados) como 4 es a 6 (que es el número de posibilidades con un solo dado).
-He aquí lo que constituía su gran escándalo, y lo que le hacía decir en voz alta que las proporciones no eran constantes y que la aritmética se contradecía, pero usted verá con facilidad la razón por los principios en que usted está trabajando.”
Aunque Pascal no entra en detalles, a partir de un razonamiento elemental se demuestra que, en efecto, el cociente de sacar como mínimo un 6 en cuatro jugadas y no sacar ninguno vale 671/625, es decir, hay ventaja aceptando la primera opción. En cambio, el cociente de sacar como mínimo una vez el doble 6 en 24 jugadas (con dos dados) y la posibilidad de no sacarlo vale 0,96... y, por tanto, hay desventaja aceptando la segunda opción. El razonamiento es también simple, pero necesita una reflexión más sutil que la simple proporcionalidad errónea que hacía el Caballero de Meré. Lo notable, como en el caso del amigo de Galileo, es que esta desventaja pudiera ser estimada experimentalmente, dado su valor en apariencia despreciable, puesto que según los anteriores resultados las probabilidades de sacar o no un doble seis en 24 jugadas están entre sí como 96 a 100, valor muy cercano a la unidad.
[...] aparece un libro del francés Montmort titulado Essai d'Analyse sur les Jeux de Hasard (1708), en cuya segunda edición (1714) el autor añade diversas citas con interesantes discusiones y comentarios de Nicolás Bernoulli. En esta obra de Montmort aparece por vez primera el llamado problema de las coincidencias, que después se fue repitiendo, más o menos modificado, en casi todos los textos de probabilidades. Su enunciado es el siguiente: se introducen en una urna trece bolitas numeradas del 1 al 13 y después de mezclarlas se sacan de una en una, sucesivamente. El jugador gana si al menos una de las bolas extraídas tiene el mismo número que el que indica el orden de extracción. Se estima la probabilidad de que esto suceda.
Esta vez vuelve D. Lluís Antoni Santaló i Sors porque nació el 9 de octubre de 1911 en Girona. Nos explica los comienzos del cálculo de probabilidades y nos presenta cuatro problemas:
1) En el juego de dados pasadiez es igual de probable apostar a más de diez o lo contrario. Y lo demuestra de una manera genial. ¿O eres capaz de ofrecerme otra demostración mejor?
2) Dice que la probabilidad de que, al lanzar tres dados, la suma de ellos valga 10 u 11 vale 0,125, y que la probabilidad de que la suma valga 9 o 12 vale 0,1157. ¿Sabes demostrarlo?
3) En cuanto al juego de sacar un seis en una tirada o dos seises al lanzar dos dados da las soluciones sin explicarlas. ¿Te atreves?
4) Por último nos presenta el problema de las coincidencias. Esta vez no te ofrezco la solución para 13 bolitas pero te invito a calcular la probabidad para 2, 3, 4, 5, ..., para 13 por supuesto, 14, 15... infinitas bolitas.
Ya aparecieron por aquí Galileo, Fermat, Pascal y el caballero de Meré (y estos tres juntos) o Nicolás Bernoulli (aquí también).