Yannick Grannec
Alfaguara. Penguin Random House Grupo Editorial, S.A.U. 2015
Páginas 177 a 183.
-Cuando miras el océano, puedes tener una sensación del infinito. En cambio no puedes medir ese infinito o, más bien, entender ese infinito.
-¡Como pretender vaciar el mar con una cucharilla!
-Hemos fabricado cucharillas, como dices tú, para definir el infinito, pero ¿cómo comprobar si esas herramientas matemáticas no son una pura construcción intelectual?
-¡Y sin embargo, el infinito existía antes de que el hombre inventase las matemáticas!
-¿Las matemáticas las inventamos o las descubrimos?
-¿Una cosa existe sólo si tenemos palabras para hablar de ella?
-¡Qué pregunta más grande para tu cerebrito!
Me dibujé encima del corazón un ocho tumbado.
-Los infinitos que me preocupan en este momento tienen que ver con la teoría de conjuntos. Es algo muy diferente.
-¡Yaya idea descabellada! El infinito es el infinito, no hay nada mayor.
-Algunos infinitos son superiores a otros.
Puso cuidadosamente en fila tres guijarros que había recogido en la playa.
-Esto es un conjunto. Un montón, si lo prefieres. Da lo mismo que sean piedras o caramelos; míralos como elementos.
Me puse de pie para dar fe de mi dócil atención. ¡Sus esfuerzos pedagógicos eran tan poco frecuentes!
-Puedo contarlos. Numerarlos. Uno, dos, tres. Así que tengo un conjunto de tres elementos. Puedo, pues, decidir que voy a hacer submontones. El blanco con el gris; el blanco con el negro; el negro con el gris; luego, el blanco solo; el negro solo; los tres reunidos y ninguno.
Tengo ocho posibilidades, ocho subconjuntos. El conjunto de las partes de un conjunto tiene siempre más elementos que el propio conjunto.
-Hasta ahí me entero.
-Si vivieras unos cuantos siglos, podrías contar todos los guijarros de una playa. Y, en teoría, si gozaras de una vida eterna, podrías pasar ese tiempo contando números, pero... siempre hay un número mayor.
-Siempre hay un número mayor.
Les di vueltas en la boca a esas palabras; tenían un sabor particular.
-Incluso si pudieras contar hasta el infinito, siempre te quedaría un infinito mayor por alcanzar. El conjunto de las partes del conjunto infinito es más grande que ese propio conjunto infinito. De la misma forma que el número de asociaciones posibles de estos tres guijarros es superior a tres.
-¡Menudo jueguecito de construcciones!
-Para que entiendas lo que viene ahora tengo que explicarte el matiz entre cardinal y ordinal. Los números cardinales te permiten numerar los elementos de un conjunto: tienes tres guijarros. Los ordinales ordenan los elementos: tienes el primer guijarro, el segundo y el tercero. Los cardinales de un conjunto infinito ”cuentan“ los elementos hasta el infinito sin que ello suponga que se les dé un orden a esos elementos. Simbolizamos esta ”cardinalidad del infinito“ con una letra hebrea: ”álef“.
Esbozó un signo esotérico en la arena antes de limpiarse el dedo con el pañuelo: ﬡ. Le alargué un palito de madera seca que cogió con un inicio de sonrisa a modo de agradecimiento.
-Tus tres guijarros materializan enteros naturales. Números que todos conocen para contar objetos usuales. 1, 2, 3, etcétera. A ese conjunto se lo denomina ”N“.
Dibujó una ”N“ y rodeó la letra con un gran redondel donde colocó los tres guijarros.
-¿Por qué? ¿Existen conjuntos?
-Tenemos, entre otros, los enteros relativos: el conjunto ”Z“. Los números relativos los definimos por relación a cero. Añadimos un signo ”-“ a un número entero para indicar que es inferior a cero; ”-1“ está por debajo de cero; ”1“ está por encima. ¿Te acuerdas del tren? Hablaban de una temperatura de 50 grados bajo cero, ”-50 ºC“. Para ser exactos, deberían haber dicho 50 grados bajo lo que la escala Celsius determina como grado cero de la temperatura.
Dibujó un círculo mayor alrededor del primero, otro en el que quedaban englobados los otros dos. Los identificó a todos con una letra mayúscula grande y elegante: ”Z“, y, luego, ”Q“.
-”Q“ es el conjunto de los números racionales: el conjunto de fracciones tales como ”1/3“ o ”4/5“.
-N, Z, Q... ¡Mi Pobre cabeza!
-Te basta con el sentido común para considerar el conjunto de los enteros naturales ”N“ como menor que el de los enteros relativos ”Z“. El conjunto ”1, 2, 3“ es menor que el conjunto ”1, 2, 3, -1, -2, -3“. De la misma forma, el conjunto de los enteros relativos ”Z“ es menor que el de los racionales ”Q“. El conjunto ”1, 2, 3, -1, -2, -3“ es menor que el ”1, 2, 3, -1, -2, -3, 1/2, 1/3, 2/3, -1/2, -1/3, etcétera“. Todos esos conjuntos van encajados unos en otros. Los enteros naturales son, por decirlo así, el montón más pequeño, y los números racionales, el más grande.
-¡Como cazuelas! ¿Así que tienen infinitos diferentes?
-¡Error! Tienen la misma cardinalidad. Te perdono la demostración. Georg Cantor lo demostró ayudándose de una función biyectiva en un caso y recurriendo a las diagonales del plano en el otro.
-Esa cardinalidad tuya me suena a hebreo.
Una gaviota curiosa vino a posarse en una roca que nos caía cerca. Me miraba fijamente con esa expresión ofendida de las aves a las que alguien se ha atrevido a acercarse.
-¡Claro que sí! En definitiva, ¿todos los conjuntos infinitos son equivalentes entre sí? Volvemos a uno solo.
-No. Porque existen otros más. Por ejemplo ”R“; el conjunto de los reales. Los ”reales“ abarcan los racionales, es decir las fracciones, y los irracionales como ”π“. Los llaman ”irracionales“ precisamente porque no pueden expresarse como una fracción. El cardinal de ”R“, es decir, el infinito de los racionales completado con el de los irracionales, ése es mayor. Cantor lo demostró también.
Dibujó alrededor de los anteriores un círculo inmenso de trazo punteado. La gaviota asintió antes de irse.
-El infinito de los números enteros, o “álef-cero“, el de los ”1, 2, 3“, aunque esa terminología sea incorrecta, se llama ”infinito numerable“.
-¿No resulta presuntuoso eso del infinito numerable?
-Seguir de broma cuando estoy intentando explicarte una cuestión difícil resulta presuntuoso, Adele.
Me di golpes de pecho en señal de contrición.
-Si has entendido bien desde el principio, puedes comprender que el conjunto de las partes de ese ”álef-cero“ es mayor que el propio ”álef-cero“. Puedes hacer más montones diferentes que la cantidad de guijarros que tengas. Según Cantor, se puede establecer una biyección entre el conjunto de las partes de ”N“ y el conjunto ”R“. Pueden ponerse por parejas, si quieres, de uno en uno, igual que el número adecuado de danzarines en un salón de baile. Pero al llegar aquí ya no me quedan más posibilidades metafóricas.
La arena de la cala estaba empezando a cubrirse de signos esotéricos. Pasé revista a los alrededores: un paseante suspicaz podría tomarnos por espías.
-En resumen, Adele, no hay... bueno, no habría infinitos intermedios entre el infinito de los enteros naturales el infinito de los reales. Si existe una frontera, estaría entre ”N“ y ”R“: el montón más pequeño de guijarros y el que los contendría a todos pero que no es posible representarlos con estos guijarros porque no es numerable. Nos olvidamos de los conjuntos intermedios ”Z“ y ”Q“, cuyos infinitos, como ya te he dicho, son iguales al de ”N“. Pasaríamos, pues, del numerable, o ”discreto“, al ”continuo“ de un solo salto. Eso se llama la hipótesis del continuo.
-¿Una hipótesis? ¿Ese Cantor tuyo no lo demostró?
-Nadie ha conseguido zanjarlo. Esta hipótesis es el primero de los problemas de Hilbert para consolidar las matemáticas.
-¿Ese famoso programa cuyo segundo punto resolviste tú con tu teorema de incompletitud? ¿Por qué no empezaste con el primero con lo ordenado que eres?
El tal Cantor murió loco, como supe más adelante. Él también padeció en su vida muchos períodos de depresión. ¿Por qué había elegido Kurt ese mismo camino oscuro?
-Los trabajos de Cantor se basaban en un axioma controvertido. El ”axioma de elección“.
-¡Un día me dijiste que un axioma es una verdad inmutable!
Levantó una ceja.
-Me asombra la memoria que tienes, Adele. En parte tienes razón, pero ésa es una verdad en una caja de herramientas matemática muy particular. No tengo ya la energía necesaria para explicitarte sus sutilezas. Limítate a saber que usar algunos de esos axiomas nos conduce a paradojas lógicas irresolubles. Y, por lo tanto, a dudar de su legitimidad.
-Y tú aborreces las paradojas.
-Intento establecer la decidibilidad de la hipótesis del continuo. ¿Cómo demostrar con axiomas no controvertidos si es verdadera o falsa?
-Tú mismo lo demostraste. ¡No todas las verdades matemáticas son demostrables!
-Ésa es una formulación incorrecta de mi teorema. La cuestión no está ahí. Si esos axiomas son ”falsos“, tenemos que aceptar que no son válidos otros teoremas construidos a partir de ellos.
-¿Y eso es tan grave, mi querido doctor Gödel?
-No se puede edificar una catedral sobre cimientos malos. Debemos saber, sabremos.
Emborroné la arena; se me metieron unos granos entre las uñas. Iba a volver al hotel con una muestra de infinito.
-¡Esa idea del continuo es muy nebulosa! ¿Se te podría ocurrir una imagen sencilla para que lo entendiera?
-Si el mundo pudiera explicarse con imágenes, no necesitaríamos las matemáticas.
-¡Ni a los matemáticos! ¡Pobrecito mío!
-Eso no sucederá nunca.
-¿Cómo se lo explicarías a un niño?
La verdadera pregunta era: ”¿Cómo se lo habrías explicado a nuestro hijo?“. ¿Habría tenido Kurt paciencia para describir su universo a un reflejo más candoroso de sí mismo? Un reflejo inexacto. ¿Habría aceptado formular de nuevo lo que hacía ya mucho que ni se molestaba en enunciar?
-En esta playa, Adele, la arena podría ser la representación de un infinito numerable. Podrías contar todos los granos, uno a uno. Ahora mira esa ola. ¿Dónde empieza la arena, dónde termina el mar? Si te fijas muy de cerca, verás una ola más pequeña, y luego otra más pequeña aún. No hay una frontera simple entre la arena y la espuma. A lo mejor descubriremos una linde similar entre el cardinal de ”N“ y el de ”R“. Entre el infinito de los enteros naturales y el infinito de los reales.
-¿Por qué pierdes las noches en eso? ¿Por qué se te olvida comer por su culpa?
-Ya te lo he explicado. La cuestión es fundamental. Es casi metafísica. Hilbert la colocó en cabeza de su programa matemático.
-¡Que al señor Hilbert le parezca importante no me dice por qué lo es!
-Tengo la intuición, Adele, de que la hipótesis del continuo es falsa. Nos faltan axiomas para construir una definición concreta del infinito.
-¿De qué vale contar el mar con cucharilla?
-Tengo que establecer la prueba de un sistema coherente y sin fallas. Tengo que saber si este infinito que exploro es una realidad o una decisión. Quiero dar testimonio de nuestro avance en un universo cada vez más legible. Tengo que descubrir si Dios creó los números enteros, y el hombre, el resto.
Tiró al agua los guijarros de su disertación con los ademanes rabiosos de un niño.
-Esa prueba me dirá si existe un orden, un modelo divino. Si estoy consagrando la vida a entender su lenguaje y no a hacer juegos malabares yo solo en el desierto. Me dirá si todo esto tiene un sentido.
Con sus gritos, un ejército de gaviotas alzó el vuelo. Le puse las manos en los hombros para calmarlo. Me rechazó.
El diálogo es entre Kurl Gödel y su esposa Adele Nimbursky. La protagonista del libro es ella. La vida y manías de Gödel son tremendas y, por eso, su mujer fue muy especial.
Kurl Gödel murió el 14 de enero de 1978.
Gödel ya había aparecido por aquí y otra vez aquí.