Nicholas Falletta
Editorial Gedisa, S.A. 1986
Páginas 132 a 140.
En la escena inicial de la obra Rosencrantz y Guildenstem han muerto, del dramaturgo inglés Tom Stoppard, los protagonistas apuestan al tiro de una moneda. El pobre Guildenstern ha echado ya noventa monedas: en todos los casos ha caído cara y las ha debido entregar a Rosencrantz. A pesar de la improbabilidad de semejante serie, tanto Rosencrantz como Guildenstern son conscientes de que es posible. Su juego está relacionado con una de las paradojas más antiguas e importantes de la teoría de las probabilidades.
A los dos les fascina este juego de apuestas, y cuando se cansan de tirar monedas Rosencrantz sugiere una variación: tirará una moneda hasta que caiga cara. Si esto sucede en el primer tiro, le pagará a Guildenstem $1; si sucede en el segundo le pagará $2, en el tercero $4 y así sucesivamente: la apuesta se duplica en cada tiro que la moneda cae cara.
La pregunta es: ¿cuál sería la suma justa que Guildenstern debería pagarle a Rosencrantz a cambio de la oportunidad de jugar?
[...]
La probabilidad de que salga cara en el primer tiro es de 1/2, porque la moneda sólo puede caer cara o cruz. El presunto valor del tiro es, pues, de $0,50, porque 1/2 x $1 = $0,50. Supóngase ahora que el primer tiro cae cruz y el segundo cara. Para calcular la probabilidad de esta secuencia se multiplica la probabilidad de que salga cruz el primer tiro (1/2) por la probabilidad de cara en el segundo (1/2), lo que da una probabilidad de 1/4. El payoff en esta situación es de $2; por consiguiente, el valor presunto para Guildenstern es nuevamenie $0,50 (l/4 x $2). La probabilidad de que la moneda caiga cara por primera en el tercer tiro es de 1/8 (1/2 x 1/2 x 1/2) y al payoff es $4, lo que nuevamente arroja un valor presunto de $0,50. Así se demuestra fácilmente que el valor presunto de cada tiro es $0,50.
Hasta aquí se ha calculado solamente el valor de cada tiro. Para calcular el valor total del juego o de la serie de juegos se suman los valores producidos en cada paso. Enseguida se descubre que la serie es interminable: 1/2 + 1/2 + 1/2 ... Independientemente de la suma que Guildenstern le pague á Rosencrantz para poder jugar, aquél siempre gana si la serie es suficientemente larga. (Desde luego esto es así si los dos jugadores poseen una suma infinita de dinero para apostar y tiempo suficiente para seguir jugando.)
Es evidente que ninguna de esta suposiciones existe en la realidad, por lo cual se trata de un problema interesante pero puramente teórico... salvo para los sistemas de "duplicación" en los casinos, que todos los años se cobran un número finito de víctimas.
Si es imposible realizar una serie infinita de juegos y apostar una suma infinita de dinero, ¿cuál sería una apuesta justa contra una banca finita de, digamos, $1.000.000? Según el matemático
inglés Eugene Northrop, la cifra es bastante modesta: $10,95.
Supóngase ahora que en un casino de Las Vegas o Atlantic City un tahúr ensaya un juego nuevo. Se juega con tres cartas: una es blanca de los dos lados, la otra es roja y la tercera es blanca de un lado y roja del otro. Cada carta está oculta en un sobre negro. La banca le permite al tahúr sacar una carta y ponerla sobre la mesa, de manera que sólo se ve un lado. Ese lado es blanco, y la banca le apuesta al tahúr que el otro lado también lo es. ¿Debe el tahúr aceptar la apuesta? ¿Por qué sí o por qué no?
[...]
hay tres cajas idénticas, cada una de las cuales contiene dos monedas. Una caja contiene dos monedas de oro, la otra dos de plata y la tercera contiene una de oro y una de plata. Evidentemente, la posibilidad de acertar cuál es la caja que contiene dos monedas distintas es de 1/3, porque las probabilidades son idénticas y sólo una es favorable al jugador. Supóngase que el jugador saca una moneda de la caja que ha elegido, la cual resulta ser de oro. Este suceso parece alterar las probabilidades, porque si queda una sola moneda en la caja y ésta es de oro o plata, la probabilidad es ahora de 1/2.
[...]
Considérese ahora la siguiente situación. Los jugadores se ponen de acuerdo previamente en declarar el as de pique, y al mirar sus cartas el jugador A declara que lo tiene. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el otro as? Al estudiar las seis combinaciones se observa que A puede tener una de tres: as de pique / as de corazón, as de pique / sota de diamante o as de pique / dos de trébol. Es decir, la probabilidad en esta situación es de una en tres, es decir, algo más favorable que en la primera. ¿Por qué el solo hecho de conocer un dato altera la probabilidad?
[...]
tres prisioneros condenados a muerte ocupan una misma celda. Viene el guardiacárcel y les dice que uno de ellos ha sido perdonado. Cuando le preguntan quién es, el guardia responde, "no me está permitido revelarles a los prisioneros la suerte que han de correr". Los ruegos de los prisioneros no logran quebrar el mutismo del guardia. Pero el prisionero A, un hombre persistente, consigue hablar con el guardia en privado y le convence de que no violará sus instrucciones si le dice quién de los otros dos -B o C- va a morir. (Es seguro que uno de ellos morirá). El guardia reflexiona que puede contestar a pregunta, porque con ello no revelará al prisionero A la suerte que va a correr ni tampoco la identidad del hombre que ha sido perdonado. "El prisionero B morirá", dice el guardia. Si B va a morir, piensa A, mi probabilidad de sobrevivir ya no es de 1/3 sino de 1/2. Así es, en efecto.
[...]
En un cuarto hay veinticuatro personas que no se conocen entre sí. La probabilidad de que los cumpleaños de dos sucedan en días diferentes es de 364 en 365, porque sólo pueden coincidir en un día. Ahora bien, supóngase que alguien apuesta dos a uno que hay dos personas en el cuarto que cumplen años el mismo día. ¿Conviene aceptar la apuesta?
La mayoría de la gente se apresuraría a aprovechar lo que parece ser una gran oportunidad de ganar una apuesta, pero eso no es así. En realidad, dadas veinticuatro personas en una habitación, la probabilidad de que dos de ellas cumplan años el mismo día es superior al cincuenta por ciento. ¿Cómo es posible, si las probabilidades son tan favorables al suceso de que dos personas cumplen años en días distintos?
[...]
Una persona recibe en sus manos un documento y se le encomienda la tarea de enviarlo por correo a otra, llamado el blanco, que vive en un lugar distante y a quien la primera no conoce personalmente. Para hacer llegar el documento al blanco se debe seguir el siguiente procedimiento: el primer jugador debe enviar el documento a alguien a quien conozca personalmente y que a su vez probablemente conozca al blanco. El jugador que recibe el documento debe repetir el procedimiento, y así sucesivamente. ¿Cuántas etapas intermedias recorrerá el documento hasta llegar al blanco?
[...] La mayoría de las personas, dice Milgram, calculan que se necesitan unas cien etapas intermedias para llegar al blanco. Pero los resultados del experimento demuestran otra cosa: el número de etapas desde el jugador inicial hasta el blanco varía entre dos y diez, con un promedio de cinco.
No diría que son paradojas de la probabilidad sino, más bien, cuidados que hay que tener con la probabilidad.
Además, el autor parece que no conoce el problema de Monty Hall que ya comenté por aquí, y con un problema idéntico que apareció aquí.
[...]
tres prisioneros condenados a muerte ocupan una misma celda. Viene el guardiacárcel y les dice que uno de ellos ha sido perdonado. Cuando le preguntan quién es, el guardia responde, "no me está permitido revelarles a los prisioneros la suerte que han de correr". Los ruegos de los prisioneros no logran quebrar el mutismo del guardia. Pero el prisionero A, un hombre persistente, consigue hablar con el guardia en privado y le convence de que no violará sus instrucciones si le dice quién de los otros dos -B o C- va a morir. (Es seguro que uno de ellos morirá). El guardia reflexiona que puede contestar a pregunta, porque con ello no revelará al prisionero A la suerte que va a correr ni tampoco la identidad del hombre que ha sido perdonado. "El prisionero B morirá", dice el guardia. Si B va a morir, piensa A, mi probabilidad de sobrevivir ya no es de 1/3 sino de 1/2. Así es, en efecto.
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En un cuarto hay veinticuatro personas que no se conocen entre sí. La probabilidad de que los cumpleaños de dos sucedan en días diferentes es de 364 en 365, porque sólo pueden coincidir en un día. Ahora bien, supóngase que alguien apuesta dos a uno que hay dos personas en el cuarto que cumplen años el mismo día. ¿Conviene aceptar la apuesta?
La mayoría de la gente se apresuraría a aprovechar lo que parece ser una gran oportunidad de ganar una apuesta, pero eso no es así. En realidad, dadas veinticuatro personas en una habitación, la probabilidad de que dos de ellas cumplan años el mismo día es superior al cincuenta por ciento. ¿Cómo es posible, si las probabilidades son tan favorables al suceso de que dos personas cumplen años en días distintos?
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Una persona recibe en sus manos un documento y se le encomienda la tarea de enviarlo por correo a otra, llamado el blanco, que vive en un lugar distante y a quien la primera no conoce personalmente. Para hacer llegar el documento al blanco se debe seguir el siguiente procedimiento: el primer jugador debe enviar el documento a alguien a quien conozca personalmente y que a su vez probablemente conozca al blanco. El jugador que recibe el documento debe repetir el procedimiento, y así sucesivamente. ¿Cuántas etapas intermedias recorrerá el documento hasta llegar al blanco?
[...] La mayoría de las personas, dice Milgram, calculan que se necesitan unas cien etapas intermedias para llegar al blanco. Pero los resultados del experimento demuestran otra cosa: el número de etapas desde el jugador inicial hasta el blanco varía entre dos y diez, con un promedio de cinco.
No diría que son paradojas de la probabilidad sino, más bien, cuidados que hay que tener con la probabilidad.
Además, el autor parece que no conoce el problema de Monty Hall que ya comenté por aquí, y con un problema idéntico que apareció aquí.