Richard Courant y Herbert Robbins
Fondo de Cultura Económica. 2002
Páginas 147 a 150.
Uno de los problemas clásicos de construcción más famosos es el llamado problema de Apolonio (ca. 200 a.C.), en el que se pide construir un círculo que sea tangente a tres círculos arbitrarios dados en el plano. En particular, en este problema se permite que uno o más de los círculos dados sean impropios, esto es, que degeneren en un punto o en una línea recta (un "círculo" de radio cero o "infinito", respectivamente); por ejemplo, puede pedirse que se construya un círculo tangente a dos líneas rectas dadas y que pase por un punto dado. Mientras que es fácil tratar estos casos especiales, el problema general es considerablemente más difícil.
De todos los problemas de construcción, el de construir con regla y compás un polígono regular de n lados tal vez sea el de mayor interés. Para ciertos valores de n -e. g., 3, 4, 5, 6- la solución se conoce desde la antigüedad y constituye una parte importante de la geometría escolar; no obstante, se ha demostrado que la construcción del heptágono regular (n=7) es imposible. Hay otros tres problemas clásicos griegos cuyas soluciones han sido buscadas en vano: : trisecar un ángulo arbitrario dado, duplicar un cubo dado (i. e., encontrar la arista de un cubo cuyo volumen sea dos veces el de un cubo con un segmento dado como su arista) y cuadrar el círculo (i. e., construir un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado). En todos estos problemas, los únicos instrumentos permitidos son la regla y el compás.
Este tipo de problemas no resueltos en las matemáticas dieron origen a uno de los avances más notables y originales cuando, después de siglos de búsqueda infructuosa de soluciones, creció la sospecha de que tales problemas pudieran ser definitivamente irresolubles. Entonces los matemáticos se enfrentaron al reto de investigar la cuestión: ¿Cómo se podría demostrar que ciertos problemas no pueden ser resueltos?
En álgebra, el problema de resolver ecuaciones de quinto y mayores grados fue lo que llevó a esta nueva forma de pensar. Durante el siglo XVI los matemáticos habían aprendido que las ecuaciones de tercero y cuarto grados podían ser resueltas mediante un proceso similar al método elemental usado para resolver ecuaciones cuadráticas. Todos estos métodos tienen la siguiente característica en común: las soluciones o "raíces" de la ecuación pueden escribirse como expresiones algebraicas obtenidas a partir de los coeficientes de la ecuación mediante una sucesión de operaciones, cada una de las cuales es una operación racional -suma, resta, multiplicación o división- o bien la extracción de una raíz cuadrada, cúbica o cuarta. Se dice que las ecuaciones algebraicas de hasta cuarto grado pueden resolverse "por radicales" (radix es la palabra en latín para raíz). Nada parecía más natural que extender este procedimiento a ecuaciones de quinto y mayores grados, usando raíces de orden mayor, pero todos los intentos fallaron; incluso matemáticos distinguidos del siglo XVIII llegaron a creer que habían hallado la solución. No fue sino hasta principios del siglo XIX que el italiano Ruffini (1765-1822) y el genio noruego N.H. Abel (1802-1829) concibieron la revolucionaria idea de demostrar la imposibilidad de la solución de la ecuación algebraica general de grado n por medio de radicales. Se debe entender claramente que la cuestión no consiste en demostrar que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene soluciones, lo cual fue demostrado por primera vez por Gauss en su tesis doctoral en 1799. Así que no hay duda acerca de la existencia de las raíces de una ecuación, debido especialmente a que estas raíces pueden hallarse hasta cualquier grado de aproximación mediante procedimientos adecuados. El arte de resolver ecuaciones por métodos numéricos es, por supuesto, muy importante, y está bastante desarrollado. Pero el problema de Abel y Ruffini era muy distinto: ¿puede encontrarse la solución por medio únicamente de operaciones racionales y de radicales? Fue el deseo de tener claridad absoluta acerca de esta cuestión lo que inspiró el magnífico desarrollo del álgebra moderna y de la teoría de grupos comenzada por Ruffini, Abel y Galois (1811-1832).
La cuestión de demostrar la imposibilidad de ciertas construcciones geométricas proporciona uno de los ejemplos más sencillos de esta tendencia en el álgebra. Usando conceptos algebraicos, podremos demostrar en este capítulo la imposibilidad de trisecar el ángulo, construir un heptágono regular o duplicar el cubo con sólo regla y compás. (Es mucho más difícil deshacerse del problema de cuadrar el círculo, véanse las páginas 171-172.) Nuestro punto de partida no será la pregunta negativa de la imposibilidad de ciertas construcciones sino más bien la pregunta afirmativa: ¿Cómo pueden caracterizarse completamente todos los problemas construibles? Una vez que hayamos respondido a esta pregunta, será fácil mostrar que los problemas antes mencionados no caen en esta categoría.
Gauss, a sus diecisiete años, investigó la constructibilidad de "p-ágonos" (polígonos de p lados) regulares, donde p es un número primo. La construcción se conocía entonces sólo para p=3 y p=5. Gauss descubrió que el p-ágono regular es construible si y sólo si p es un "número de Fermat",
p=22n-1
que sea primo. Los primeros números de Fermat son 3, 5, 17, 257, 65 537 (véase la página 49). Quedó tan abrumado el joven Gauss con su descubrimiento que inmediatamente abandonó su intención de dedicarse a la filología y resolvió dedicar su vida a las matemáticas y sus aplicaciones. Siempre vio a esta primer gran proeza suya con particular orgullo. Después de su muerte, se erigió una estatua suya de bronce en Gotinga, y no pudo habérsele hecho honor más adecuado que el de construir el pedestal sobre la base de un 17-ágono regular.Se mencionan cuatro grandes matemáticos: Ruffini, Abel, Galois y Gauss.
Ruffini ya estuvo por aquí.
Niels Henrik Abel murió el 6 de abril de 1829 en Froland (Noruega) a los 26 años.
Galois, que murió a los 21 años en 1832, también estuvo por aquí.
Y Gauss ha aparecido muchas veces, por ejemplo, aquí.