Raúl Ibáñez
RBA Libros, S.A. 2011
Páginas 51 a 53.
La contribución de Riemann
La revolución que inició Gauss se mantuvo, en cualquier caso, dentro del espacio euclideo tridimensional; la aventura multidimensional estaba aún por comenzar. Hasta entonces la geometría analítica ordinaria se había dedicado al estudio de los espacios (coordenados) hasta la dimensión tres (rectas, planos y espacio) y, como ya hemos comentado, admitir la existencia de dimensiones superiores no era fácil para científicos ni para filósofos. Sin embargo, hacia mediados del siglo XIX los espacios multidimensionales se introdujeron como una extensión natural de la geometría analítica. Dos importantes trabajos en este sentido fueron el artículo "Capítulos de la geometría analítica de dimensión n", del matemático inglés Arthur Cayley (1821-1895), y Leccíones sobre extensión lineal, del matemático y filólogo alemán Hermann Grassmann (1809-1877).
Entonces llegaría la conferencia de Riemann para su habilitación en la Universidad de Gotinga, "Sobre la hipótesis en que se funda la geometría". En ella resaltan tres grandes ideas geométricas:
1) La introducción de los espacios geométricos n‑dimensionales (que los geómetras llaman variedades diferenciables), que generalizan el concepto de superficie introducido por Gauss.
2) La introducción de un tensor métrico que generaliza el concepto de distancia y el estudio de las relaciones métricas sobre las variedades diferenciables (el nacimiento de la geometría de Riemann).
3) La generalización de la curvatura y otros elementos de la geometría intrínseca de superficies a las variedades de Riemann n‑dimensionales.
En la definición del concepto de variedad diferenciable n‑dimensional se encuentra el hecho de que localmente podemos identificarla con n "magnitudes", coordenadas locales, x1,...,xn, así como las reglas que rigen el cambio de coordenadas. El espacio geométrico (variedad diferenciable) ya no está necesariamente vinculado a una realidad espacial, sino que puede ser cualquier entidad que verifique las condiciones generales establecidas por la definición.
Además, Riemann rompió con el pensamiento matemático y filosófico anterior según el cual el concepto de espacio llevaba implícita la distancia, entendida como la distancia usual (euclidea). Con él se separó el concepto de espacio (variedad diferenciable de dimensión n) y el de distancia (llamado tensor métrico de Riemann), de manera que a un mismo espacio lo podemos dotar de diferentes distancias, que, por supuesto, tendrán asociadas curvaturas distintas. Por lo tanto, la geometría de Riemann es una geometría no euclidea en un sentido mucho más general que la desarrollada por Lobachevski y Bolyai, puesto que introduce las dimensiones superiores, y la curvatura puede tomar valores distintos en diferentes puntos.
Por otra parte, Riemann también manifestó un profundo interés por cuestiones de física, lo que le llevó a preocuparse por tratar de unificar las fuerzas físicas de la naturaleza (gravitatoria, magnética y eléctrica). Opinaba que la fuerza era consecuencia de la geometría del espacio, de su curvatura, de modo que la nueva geometría que él introducía podía proporcionarle esa unificación de las fuerzas naturales.
Las ideas que aparecen en su memoria fueron fundamentales en la física del siglo XX, y en particular fueron precursoras de la teoría de la relatividad: el físico alemán, Albert Einstein (1879-1955) introdujo la teoría de la relatividad restringida en 1905, junto al físico y matemático holandés Hendrik Lorentz (1853-1928) y al matemático francés Henri Poincaré (1854-1912). Poco después, el matemático alemán Hermann Minkowski (1864-1909) incorporó una variedad de Riemann de dimensión cuatro, el espacio-tiempo, con un tensor métrico de Riemann especial que implicaba la velocidad de la luz y que era el espacio en el que mejor podía desarrollarse la teoría de la relatividad general de Einstein, introducida en 1916.
Página 53.
Bernhard Riemann (1826-1866)
Riemann tuvo una vida corta, publicó pocos trabajos, pero fueron de una calidad excepcional, pues en ellos resolvió algunos de los problemas más intrincados de las matemáticas. Introdujo asimismo nuevos conceptos y herramientas, y cambió profundamente la idea de espacio para científicos y filósofos. Era una persona tímida, a la que le horrorizaba hablar en público, de salud delicada y que sufría frecuentes crisis nerviosas. Tuvo una niñez humilde, como corresponde al hijo de un pastor protestante de una pequeña aldea, si bien contaba con una fantástica capacidad para el cálculo y un talento especial para las matemáticas. Se cuenta, que cursando educación secundaria le regalaron la Teoría de números de Legendre, 900 páginas que leyó de forma apasioniada en una semana. Aunque inició sus estudios en teología y filosofía, Riemann se vio atraído rápidamente hacia las matemáticas , por lo que se fue a estudiar a la Universidad de Berlín, donde empezó a desarrollar ideas originales acerca de las funciones de variable compleja, tema sobre el cual presentó su tesis doctoral en Gotinga, bajo la tutoría de Gauss. En 1859, Riemann escribió su única publicación sobre números primos, tema que le cautivaría durante años, y en el que aparece su famosa hipótesis.
En esta ocasión se juntan dos de mis favoritos y no habituales por aquí: Riemann y Raúl Ibáñez.
Georg Friedrich Bernhard Riemann murió el 20 de julio de 1866 (¡hace 150 años!) sin haber cumplido los 40 años. Ya estuvo por aquí varias veces, aquí en especial.
Raúl Ibáñez también estuvo por aquí. Es fácil encontrarlo por el Cuaderno de Cultura Científica, o por Divulgamat, o por cualquier medio que intente divulgar las matemáticas.