Matemáticas

Matemáticas. Una breve introducción.


Timothy Gowers.



Alianza Editorial, S.A. 2008


Páginas 85 a 90.
Tres enunciados que parecen obvios pero que requieren demostración
Un aspecto de las matemáticas avanzadas que desconcierta a muchos es que algunos teoremas parecen demasiado obvios como para precisar una demostración. Al encontrarse ante esos teoremas, la gente suele replicar: "Si eso no se considera obvio, entonces ¿qué se entiende como tal?". Un antiguo compañero mío tenía una buena respuesta para esta cuestión, y es que los enunciados sólo son obvios cuando al instante acude a la mente una demostración. En lo que resta de capítulo daré tres ejemplos de enunciados que parecen obvios pero no superan esa prueba.

1. El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural se puede escribir de un modo, y sólo uno, como un producto de números primos, si se ignora el orden en que se escriben. Por ejemplo, 36=2x2x3x3; 74=2x37, y 101 es en sí mismo un número primo (que en este contexto se entiende como el "producto" de un solo primo). Al considerar varios números pequeños como éstos, uno se convence con rapidez de que nunca aparecerán dos maneras distintas de escribir un número como un producto de números primos. Ésta es la idea esencial del teorema y no parece necesitar una demostración en absoluto.
Pero ¿de verdad es tan obvia? Los números 7, 13, 19, 37 y 47 son primos, de modo que si el teorema fundamental de la aritmética es obvio, entonces será obvio que 7x13x19 no es igual que 37x47; de hecho, se puede comprobar que ambos dan resultados diferentes (¡como diría cualquier matemático, uno más interesante que el otro) pero esto no demuestra la obviedad de que vayan a ser distintos, ni explica por qué no podrían hallarse otros dos productos de primos que den lugar a un resultado idéntico. Lo cierto es que no existe una demostración sencilla del teorema: a quien se le ocurra al instante una demostración, es que tiene una mente muy singular.

2. Imaginemos que hacemos un nudo corredizo en un trozo de cuerda normal y a continuación unimos ambos extremos para obtener la forma que se ilustra en la figura 15, conocida en matemáticas como nudo de trébol. ¿Se puede deshacer el nudo sin cortar la cuerda? No, por supuesto que no.

Pero ¿por qué tendemos a decir "por supuesto"? ¿Es que se nos ocurre de inmediato alguna argumentación para ello? Tal vez la haya (da la impresión de que cualquier intento por deshacer el nudo conduce inevitablemente a liarlo más, y no menos). Sin embargo, es difícil convertir esta consideración instintiva en una demostración válida. Lo realmente obvio es que no existe un modo sencillo de deshacer el nudo. La dificultad estriba en descartar que haya una manera de deshacer el nudo de trébol volviéndolo mucho más complejo en un principio. Desde luego parece improbable, pero en matemáticas se dan fenómenos de este tipo, y hasta en la vida cotidiana: por ejemplo, para organizar bien una habitación, en lugar de meterlo todo en los armarios, con frecuencia hay que empezar por desorganizarla mucho más de lo que está.

3. Las curvas sobre un plano son todo lo que se puede pintar sin levantar el lápiz del papel. Son simples cuando nunca se cruzan consigo mismas, y cerradas cuando terminan donde empezaron. La figura 16 muestra el significado gráfico de estas definiciones. La primera curva representada, que esa la vez simple y cerrada, abarca una sola región del plano, que se conoce como el interior de la curva. Claramente, cualquier curva simple cerrada divide el plano en dos partes, la interior y la exterior (o tres partes si se cuenta la propia curva como otra parte más).

Pero ¿de verdad está tan claro? Sí, en efecto lo es cuando la curva no es demasiado complicada. Sin embargo, ¿qué sucede con la curva representada en la figura 17? Si se elige un punto en algún lugar próximo al centro, ya no resultará tan obvio si reside dentro o fuera de la curva. Quizá no, podría objetarse, pero sin duda seguirá habiendo una parte dentro y otra fuera aunque la complejidad de la curva dificulte su diferenciación visual.

¿Cómo justificar esta convicción? Un modo de diferenciar el interior del exterior sería el siguiente. Admitamos por un momento que los conceptos "fuera" y "dentro" tienen sentido, en este caso cada vez que se cruce la curva se pasará del interior al exterior, o viceversa. Por lo tanto, para saber si un punto P se halla dentro o fuera sólo hay que trazar una línea que parta de P y termine en algún otro punto Q lo bastante alejado de la curva como para que claramente se encuentre fuera de ella. Si esta línea cruza la curva un número impar de veces, entonces P reside dentro; en caso contrario, se halla fuera. El problema de este razonamiento estriba en que da por sentadas varias cosas. Por ejemplo, ¿cómo se sabe que al trazar otra línea desde P que termine en otro punto distinto R no se obtiene un resultado diferente? (Y es verdad que no se obtiene, pero hay que demostrarlo). La afirmación de que toda curva simple cerrada tiene una parte interior y otra exterior es en realidad un teorema matemático célebre que se conoce como el "teorema de la curva de Jordan". Por obvio que parezca, hay que demostrarlo, y todas las demostraciones que se conocen del mismo son lo bastante complicadas como para quedar bien fuera del ámbito de una obra como ésta.










Para reflexionar...