Claudi Alsina y Cristina Macía.
Editorial Ariel. 2015
Páginas 156 y 157.
Distribución de puntos en una esfera
Marcar unos cuantos puntos "uniformemente" distribuidos en una esfera, como en el caso de la esfera anterior, no es un problema trivial. En una circunferencia al inscribir polígonos regulares tenemos puntos bien distribuidos en todo el perímetro. Pero en la esfera este tipo de recurso es muy limitado: solo cinco tipos de poliedros regulares (tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro) los cuales, inscritos en una esfera, marcarían con sus vértices 4, 6, 8, 12 o 20 puntos. El tema de la distribución uniforme de puntos en la esfera tiene especial interés en joyería, en la distribución de satélites alrededor de la Tierra o en las imágenes de trozos terrestres uniformes para predicciones meteorológicas (recuerda el famoso Meteosat).
Página 237.
¿Cómo calcular el volumen vacío de una botella?
Una botella de vino cerrada con tapón está llena aproximadamente con dos terceras partes de vino. Dispones de una regla graduada. ¿Cómo podrás calcular el volumen que queda vacío en la botella con su cuello curvo que va estrechándose hasta el tapón?
A veces mover las cosas puede ayudar. Toma la botella y ponla boca abajo. El vino ocupará la parte curva y el vacío corresponderá a una parte de la botella que tiene forma de cilindro. Mides la altura H y el diámetro de la base D y aplicas la fórmula V=π(D/2)2H/3. ¡Fin!
Páginas 249 a 251.
Los barriles de Kepler
El gran matemático y astrónomo Kepler (1571-1630) dedicó una sus obras, Nova Stereometria Dollorum Vinariorum, de 1615, a presentar un estudio exhaustivo de los volúmenes de los barriles de vino y otros cuerpos. Con ello Kepler redescubrió algunos principios que ya el gran matemático griego Arquímedes había vislumbrado y contribuyó a que en el siglo XVII avanzara el cálculo matemático. El problema inicial que fascinó a Kepler fue observar que muchos mercaderes en el momento de calibrar el vino que debía haber en un barril lleno introducían una regla desde un agujero situado en la parte superior del barril colocado horizontalmente hasta el extremo inferior del círculo de la tapa delantera, y de esta medida D deducían el precio.
El enfado de Kepler fue mayúsculo pues vio que en diferentes tipos de barriles con contenidos muy diversos podían dar la misma medida D e igual precio pero tener cantidades muy distintas del sabroso vino [...]
Por tanto, para un mismo valor de D fijo, en nuestra aproximación actual, el volumen V como función de H sería máximo cuando la derivada de V respecto de H valiese 0, o sea: V'(H)=0, lo que lleva a 3H2=4D2.
Página 287.
La mitad el vaso sin medir
Tienes un vaso cilíndrico que deseas llenar hasta la mitad exacta pero no tienes a mano una regla graduada, ¿puedes lograr resolver este reto?
¡Sí! Inclina el vaso y lo vas llenando hasta que la sección elíptica de la superficie del líquido tenga un extremo en el borde del vaso y su extremo opuesto en el borde de la base. La mitad está servida.
Página 298.
Axiomas de Huzita-Hatori o Huzita-Justin
Siete son los axiomas que determinan todas las construcciones de origami:
Axioma 1. Dados dos puntos A y B, se puede realizar un único pliegue recto que los une.
Axioma 2. Dados dos puntos A y B, se puede realizar un único pliegue que permite situar A sobre B.
Axioma 3. Dadas dos rectas P y Q, se puede realizar un pliegue que lleve P sobre Q.
Axioma 4. Dado un punto A y una recta r, se puede realizar el pliegue que pasa por A y es perpendicular a r.
Axioma 5. Dados dos puntos A y B y una recta r, se puede hacer un pliegue que pase por B y sitúe A sobre r.
Axioma 6. Dados dos puntos A y B y dos rectas P y Q, se puede hacer un pliegue que lleve A sobre P y B sobre Q.
Axioma 7. Dado un punto A y dos rectas P y Q, se puede realizar un pliegue perpendicular a Q que lleve A sobre la otra recta P.
Con estos principios se pueden probar maravillosos teoremas y resolver con origami ecuaciones de grado 2, 3 o 4, se construyen raíces cúbicas , se triseca cualquier ángulo, etc.
Páginas 299 a 302.
Los palillos y el teorema de Dawson
Thomas Rayner Dawson (1889-1951) fue un aclamado creador de problemas de ajedrez que alcanzaron gran popularidad.
Sorprendentemente, Dawson publicó en 1939 un artículo con un resultado geométrico inesperado relacionando las construcciones clásicas con regla y compás y las realizadas con palillos.
Usando tantos palillos idénticos (de longitud 1) como sea necesario Dawson da cuatro reglas para las construcciones con palillos:
1. Un palillo puede colocarse pasando por un punto del plano o con un extremo en dicho punto.
2. Un palillo puede situarse sobre dos puntos dados si estos están a distancia 1 o inferior. Dos palillos no pueden superponerse.
3. Si un punto está a una distancia menor o igual a 1 de una recta, se puede situar un palillo con extremo en el punto dado y el otro extremo en un punto de la recta.
4. Dos palillos pueden colocarse formando un triángulo isósceles, con dos extremos en un punto y los otros dos en dos puntos que no estén apartados más de dos unidades.
En este modelo, los puntos construidos son siempre las extremidades de los palillos ya colocados, pero nota que no es posible situar sin más dos palillos alineados o situar un palillos señalando la dirección de un punto lejano. En estas construcciones la clave son los triángulos equiláteros que se forman con tres palillos iguales. Por ejemplo, dados dos puntos A y B a distancia menor o igual a 1 puedes construir una línea tan larga como quieras que pase por los dos puntos y una paralela a distancia √3/2. La figura te indica cómo proceder.
1. Se puede dibujar una recta pasando por tres puntos ya marcados
2. Se puede marcar la intersección de una recta (que pasa por dos puntos ya construidos) y una circunferencia con centro en un punto ya marcado y cuyo radio es la distancia de ese centro a otro punto construido.
3. Es posible determinar las intersecciones de dos circunferencias con centros en puntos ya marcados y como radios las distancias entre puntos marcados que hagan posible el corte de las circunferencias.
Así, en el modelo griego de construcciones con regla y compás, todos los puntos van saliendo de intersecar rectas, o rectas con circunferencias o pares de circunferencias. Obviamente todo lo que se pueda construir con los palillos se podrá dibujar fácilmente con regla y compás. La gran sorpresa demostrada por Dawson en 1939 fue el siguiente:
Teorema. Una figura puede ser trazada con palillos si y solo si puede ser dibujada con regla y compás.
Cuando leí "La distribución de puntos en una esfera" me acordé del balón de fútbol (icosaedro truncado) y no me quedó claro el significado de distribución "uniforme" de puntos. ¿Cómo llamaríamos a la distribución de puntos en la esfera de los vértices de los sólidos arquimedianos, u otros tipos de sólidos?
En la fórmula para calcular el volumen vacío de una botella hay una errata. ¿La vió?
Relacionar el origami con las matemáticas parece natural, pero el teorema de Dawson es sorprendente y más divertido.
Claudi Alsina ya estuvo varias veces en este blog, la última aquí.