Matemáquinas. La matemática que hay en la tecnología
Brian Bolt
Editorial Labor, S.A. 1992
Páginas 9 a 11
Piñones y cadenas
La transmisión por cadenas y piñones dentados está muy relacionada con la transmisión por correa. Es una transmisión que todo el mundo conoce; se utiliza para llevar el movimiento de los pedales de una bicicleta a la rueda trasera. Pocas personas se percatan, sin embargo, del fenomenal avance que este mecanismo supuso en la concepción y desarrollo de las bicicletas.
Antes de 1885, fecha en la que Starley introdujo la transmisión por cadena en su Rover Safety Bicycle, todas las bicicletas se valían de transmisión directa. Los pedales estaban directamente unidos a la rueda motriz, como los triciclos de los niños o los velocípedos, con lo que cada vuelta de los pedales suponía una revolución exacta de la rueda.
En consecuencia, la bicicleta avanzaba en cada vuelta de los pedales una distancia igual a la circunferencia de la rueda, y el desarrollo de la bicicleta dependía enteramente del tamaño de la rueda motriz.
Pero incluso con una rueda motriz grande, como la de los velocípedos, el desarrollo efectivo era pequeño en comparación con el de una bicicleta moderna. Con una catalina de 42 dientes y un piñón libre de 14 en la rueda, la cadena se encargaría de hacer que el piñón (y por consiguiente, la rueda) diese tres vueltas por cada revolución de los pedales. Las ruedas de una bicicleta típica tienen 69 cm de diámetro, por lo que una sola vuelta de los pedales haría avanzar la bicicleta tanto como un monociclo cuya rueda motriz tuviese un diámetro de 3 x 69 =207 cm. Un instante de reflexión nos convencerá pronto de que nadie podría sentarse a horcajadas sobre un velocípedo semejante, pues habida cuenta del radio de la rueda más la biela del pedal, haría falta que la pierna midiera por su interior alrededor de 130 cm.
Para calcular el factor de transmisión correspondiente a dos ejes conectados por cadena y piñones, basta hallar la razón de los números de dientes de la catalina y piñón. En el ejemplo anterior (fijémonos en el convenio de representación de la cadena, en línea de trazos, para distinguirla de la correa)
Para comprender que así es, bastará observar que una revolución de A hará avanzar 48 eslabones de la cadena y que ello hará girar el piñón B exactamente 4 vueltas, pues tiene 12 dientes. Para fijar esta idea pueden efectuarse experimentos con diversas bicicletas o recurrir a juegos de construcción como Meccano o Fischertechnik.
Las bicicletas ofrecen un amplio campo para la comparación de desarrollos, referidos todos al de la hipotética rueda motriz que provocase en una vuelta de los pedales el mismo avance en un velocípedo. Así es como miden sus desarrollos los ciclistas profesionales:
Los ciclistas profesionales suelen utilizar un grupo de cinco piñones de diámetro creciente, acoplados a la rueda posterior, y dos catalinas solidarias al pedalier. La cadena conecta una de las catalinas con uno de los piñones; el ciclista dispone de mandos de control para mover la cadena hacia los lados y poder combinar la catalina y el piñón más adecuados. En una típica bicicleta de carreras, el número de dientes de los piñones va desde 14 a 28; las catalinas suelen tener 32 y 50 dientes. En consecuencia, los factores de transmisión máximo y mínimo disponibles son:
f.t. máximo = 50/14
f.t. mínimo =32/28
Por lo tanto, con una rueda de 27 pulgadas (686 mm), los desarrollos correspondientes van de
(50/14) x 27 = 96,42 pulgadas (2449 mm)
a un mínimo de
(32/28) x 27 = 30,9 pulgadas (784 mm)
Estos valores supondrían velocípedos con ruedas motrices de unos 2,5 y 0,75 metros de diámetro, respectivamente. (En este ejemplo, las medidas se han dado en pulgadas al ser todavía las utilizadas por los ciclistas profesionales.)
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9. Los distintos desarrollos de la bicicleta de Claude Butler Ladydale se consiguen mediante dos catalinas, de 32 y 50 dientes, respectivamente, y cinco piñones montados en el eje trasero, de 14, 17, 20, 24 y 28 dientes. Completa la siguiente tabla para mostrar los diez factores de transmisión disponibles. Para calcular el desarrollo de la bicicleta en cada caso se multiplica el factor de transmisión por el diámetro de la rueda trasera, que es, normalmente, de 27 pulgadas.
10. Cuando José Meiffret batió el récord mundial de velocidad en bicicleta, superando ligeramente los 203 km/h, utilizó un factor de transmisión igual a 10 entre la catalina y el piñón, con lo que su desarrollo era equivalente al de un velocípedo cuya rueda tuviera un diámetro de unos 7 metros. Propón posibles números de dientes para la catalina y el piñón. ¿Por qué resultaría difícil lograr por este método un desarrollo mayor?
11. Las bicicletas BMX típicas calzan ruedas de 20 pulgadas (unos 50 cm) y montan catalinas de 36 dientes con piñones de 18 dientes.
¿Qué desarrollo tienen?
¿Cuántos dientes deberían tener la catalina y el piñón de una bicicleta que diese un desarrollo aproximadamente igual con ruedas de 27 pulgadas?
12. La "todoterreno" Dawes Wildcat, una bicicleta de montaña, lleva ruedas de 26 pulgadas y dispone de 18 relaciones de cambio diferentes. A tal fin monta tres catalinas de 32, 40 y 48 dientes, que arrastran un grupo de 6 piñones de 16, 20, 24, 28, 32 y 36 dientes, respectivamente. Halla todas las posibles relaciones y enuméralas en orden creciente, indicando cómo se consiguen. Establece después la secuencia de cambios de catalina y piñón que permiten recorrer ordenadamente todas las relaciones a partir de la más baja.
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Pantógrafo
Otra de las aplicaciones del paralelogramo articulado es un instrumento de dibujo conocido por pantógrafo, que se utiliza para copiar dibujos y mapas a diferente escala, o también, en un otro ámbito, para guiar un útil de corte en procesos de manufactura.
En el diagrama superior izquierdo, AYBC es un rombo y AX = BZ son ambos iguales al lado del rombo. El resultado es que, independientemente de cómo sea movido el montaje, X, Y y Z se encontrarán siempre alineados con XY = YZ. Al utilizar el pantógrafo en la forma indicada, X es un punto fijo, Y va recorriendo el perfil de un objeto, y el lápiz inserto en Z irá trazando una copia del objeto, que aquí resultará ser una ampliación (por homotecia) de centro en X con factor de escala igual a 2. La escala 2:1 es resultado de que Z siempre dista de X una distancia doble que Y. El diagrama de la derecha muestra el pantógrafo preparado para efectuar una ampliación de escala 4:1. A tal fin, AC = 3AX, AC = BY = BZ y AX = AY = CB. Estas relaciones garantizan que X, Y, Z se mantengan alineados y que YZ = 3XY, haciendo así que ZX = 4YX.
En general, cuando X es el punto fijo y el objeto es contorneado por Y, se tiene
escala de ampliación lineal = ZX/YX
Es posible que, para comprender el funcionamiento del pantógrafo, lo mejor sea imaginar sus varillas como parte de un enrejado rómbico, como los que se pueden adquirir para plantas trepadoras en centros de jardinería. Con esta idea resulta posible reconocer otras formas de construir sistemas articulados que produzcan ampliaciones o reducciones. La figura muestra seis formas diversas de construir sistemas articulados que garanticen la colinealidad de X, Y, Z (o sea que X, Y, Z se encuentren en línea recta) y en los que YZ = 2XY.
En cada uno de estos montajes, si X es el punto fijo e Y va contorneando un objeto, la imagen descrita por Z será una ampliación de X con factor de escala de 3:1. Si, por otra parte, es Z el que va recorriendo el perfil y se coloca el lápiz en Y, la imagen será pequeña y la transformación consistirá en una reducción por homotecia de vértice X y razón 1/3. El término geométrico "homotecia” engloba tanto las ampliaciones como las reducciones de escala, de factor positivo o negativo.
Pero la cuestión no acaba aquí, pues también podemos tomar Y o Z como punto fijo (centro de homotecia) y, en cada caso, tendremos dos opciones para colocar el lápiz.
Cuando la imagen experimenta no sólo una ampliación o reducción sino, además, un giro de 180 grados, podemos entender que el factor de escala es negativo, situación que corresponde a los sistemas articulados anteriores cuando el punto fijo es Y.
¿De qué forma podríamos utilizar los montajes ilustrados para producir ampliaciones o reducciones con factor de escala (a)igual a -2, (b) -1/2, (c) 3/2, (d) 2/3.
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El mecanismo encargado del desplazamiento lateral de los piñones tensores para hacer pasar la cadena de unos a otros piñones en las bicicletas de carreras consiste en un paralelogramo articulado. En un mecanismo típico de cambio de marchas, AB=DC=1,5 cm, AD=BC=4,0 cm y el desplazamiento lateral cuando el eje motriz tiene cinco piñones es 2,5 cm. ¿Cuál será el ángulo mínimo que habrá de girar CB para poder pasar de la marcha más alta a la más baja?
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Dos conos cuyas bases tienen diámetro d y cuya altura es h han sido pegados sólidamente por sus bases, formando un rodillo bicónico. El rodillo va a ser colocado sobre dos guías de cartón. Si las guías definen con la horizontal un ángulo de elevación α y el ángulo diedro que forman mide β, hállese la condición que relaciona α, β, d y h para que la rodadura se produzca en la dirección indicada, ¡con lo que parecerá que el doble cono asciende por sí solo cuesta arriba! Constrúyete un modelo.
Desconozco si las medidas en cm y en pulgadas de todo lo relacionado con las bicicletas sigue siendo así ahora. Ha cambiado el número de piñones de la bicicletas de carreras que ahora llegan a 11 (supongo que es por la precisión de los cambios); los platos (catalinas) suelen ser dos de 50 y 34 dientes y los piñones son, por ejemplo, de 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 23, 25 y 27 dientes.
De cualquier forma, en el libro aparecen unos problemas muy prácticos y también están las soluciones. ¿Necesitas ayuda o la solución sobre alguno de los que presento?
Brian Bolt ya estuvo por aquí con otros cuatro libros, el último en esta entrada.
