Director: W. de Rafols. 1943.
Páginas 3-9
Contribución al estudio de los poliedros arquimedianos
Por Joaquín de la Llave. General de Brigada. Director de la Escuela de Aplicación de Ingenieros del Ejército
[...] dichos cuerpos [se refiere a los arquimedianos], que, como es sabido, están formados por caras regulares (de dos o tres clases en cada poliedro) con ángulos sólidos iguales o simétricos.La cuestión de posibilidad de existencia de dichos poliedros y, por tanto, su número, se analiza partiendo de los ángulos sólidos que se pueden formar acoplando polígonos regulares alrededor de un vértice, de tal modo que la suma de los ángulos sea inferior a 360º. Consideraremos sólo las trece combinaciones siguientes, en las que designamos cada uno con un número romano, con un orden que se justifica más adelante:
I.—Un triángulo y dos exágonos.
II.—Un triángulo y dos octógonos.
VIII.—Un triángulo y dos decágonos.
V.—Un triángulo y tres cuadrados.
XI.—Un triángulo, dos cuadrados y un pentágono.
III.—Dos triángulos y dos cuadrados.
IX.—Dos triángulos y dos pentágonos.
VII.—Cuatro triángulos y un cuadrado.
XIII.—Cuatro triángulos y un pentágono.
IV.—Un cuadrado y dos exágonos.
VI.—Un cuadrado, un exágono y un octógono.
XII.—Un cuadrado, un exágono y un decágono.
X.—Un pentágono y dos exágonos.
Hay otros grupos que no pueden repetirse para cerrar el espacio y caben, además, un número indefinido de combinaciones en las que a un polígono de cualquier número de lados se acoplan cuadrados (del que resultan una serie de prismas) o triángulos equiláteros (que producen prismatoides); pero de éstos no nos ocupamos por ser sus características muy diferentes y no ser posible incluirlos en el cuadro y ábaco que se acompañan.
Prolongando las caras de estos cuerpos, se forman los cinco poliedros regulares, o dicho de otro modo: los arquimedianos pueden generarse por truncaduras en dichos cinco poliedros. Esto da lugar a una primera clasificación señalada en el cuadro.
El poliedro I se obtiene partiendo del tetraedro; los II‑VII, del exaedro‑octaedro, y los VIII‑XIII, del dodecaedro‑icosaedro.
Para calcular los valores de las distintas líneas se toma como unidad el lado.
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Ejercicios propuestos
Dada una pirámide regular de base cuadrada y altura igual al doble del lado de la base, se pide determinar la relación de los volúmenes (superior e inferior) en queda dividida por un plano que, pasando por un lado de la base, corte a la pirámide, según un polígono cuyo perímetro sea lo más pequeño posible.(Propuesto en la Academia Militar de Ingenieros Aeronáuticos. Junio 1942)
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Ejercicios resueltos
Tres jugadores acuerdan jugar tres partidas y que el que pierda entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno de éstos posee en aquel momento. Cada uno perdió una partida, encontrándose los tres después de terminar el juego con la misma cantidad D. Determinar lo que poseía cada uno al empezar el juego.Página 127
Sección especial resueltos
43. ¿Cuántos signos necesita un tipógrafo para numeras todas las páginas de un libro que tiene 2748?Se supone que cada signo no se emplea más de una sola vez.
44. Calcular el valor de:
Otra revista antigua de la que esta vez elegí algunas partes de un artículo sobre poliedros arquimedianos y, cómo no, cuatro problemas. Los problemas están ordenados en dificultad decreciente.