Las matemáticas ocultas

Las matemáticas ocultas.


Robin Jamet.



Alianza Editorial, S.A. 2017


Páginas 128 a 130.
Un truco de ilusionismo... matemático
Muestra a la audiencia el grafo siguiente (cópialo en una hoja):

Indica que uno de los vértices está identificado como punto de salida y que los otros están numerados. Pide a una de las personas del público que, partiendo del vértice de salida, siga las aristas como quiera, pero sin pasar nunca dos veces por la misma. Lo más sencillo, para evitar errores y preguntas, es darle un rotulador para que vaya dibujando el itinerario. Solo deberá parar cuando se vea bloqueada en un vértice. Antes de empezar anotas un número en un trozo de papel, que doblarás y dejarás a la vista encima de la mesa. Al finalizar su itinerario la persona indicará el número del vértice en el que se ha quedado bloqueada. Pide entonces a otra persona del público que lea el número que antes habías escrito en el trozo de papel: ¡es el mismo!
¿Cómo conseguir semejante prodigio?
Lo único que hay que hacer es dibujar un grafo en el que haya exactamente dos vértices de grado impar, es decir, con un número impar de aristas. Elige uno de esos dos vértices como punto de salida obligatorio y retén el número del otro antes de comenzar el truco: el trayecto terminará siempre en ese vértice.
Así, en el ejemplo de arriba, todos los itinerarios terminarán en el vértice número 8 que está unido a cinco aristas. ¿Por qué?
Observa un vértice unido a dos aristas (por ejemplo, los vértices 11 y 6 de nuestro grafo): da igual que lleguemos a esos vértices por una de las aristas o por la otra: siempre quedará la segunda para seguir. En esos vértices no es posible quedarse atascados.

Lo mismo ocurrirá en todos los vértices con un número par de aristas: por cada arista de entrada hay una arista de salida. Un vértice de ese tipo es por tanto necesariamente un punto de paso y no de impasse; es imposible quedarse atascados allí.

Por otro lado, si un vértice tiene un número impar de aristas y no es el punto de salida del itinerario, después de un cierto número de idas y venidas no quedará más que una arista que le una al resto del grafo. Llegará un momento en que habrá que pasar por esa arista, y entonces nos quedaremos atascados en un callejón sin salida.

Una vez comprendido el principio, puede repetirse el truco las veces que se quiera, con grafos distintos. Y con un poco de práctica no tendrás ningún problema para improvisar nuevos grafos sin preparación previa.


Páginas 85 a 90.
¡Curvas por todos los lados!
Seguro que lo habrás comprobado ya: cruzar una calle en sentido transversal, en diagonal, es más imprudente pero más corto que tomarse la molestia de ir hasta el paso de cebra para atravesarla de manera perpendicular al eje.
Entre la línea recta que atraviesa la calle transversalmente (que es el trayecto más corto) y el trayecto más prudente que discurre por la acera y el paso de cebra, ¿cuál es la curva ideal que hay que seguir para evitar estar demasiado tiempo en la calzada pero acortando al mismo tiempo el trayecto?

La cuestión es un problema de "optimización". La optimización es el arte de encontrar la mejor solución a un problema que exige, como quien dice, encender una vela a Dios y otra al diablo. Aquí la primera vela sería la longitud del trayecto, y la segunda, el riesgo que se corre,al andar por la calzada.

Así, en la ciudad, no hay nada más normal para el matemático que ver aparecer multitud de curvas más o menos conocidas.
La cicloide es una de las más célebres: describe la trayectoria que seguiría una chincheta clavada en un neumático.
Fíjate en una cosa que no es nada evidente: en el momento en que la chincheta toca el suelo, su velocidad es nula. Si no fuese así, la bicicleta patinaría o derraparía. Y al contrario, cuando la chincheta se encuentra en lo más alto de la rueda (es decir, en lo más alto del arco de cicloide) su velocidad es máxima: a la velocidad del vehículo se suma la de la rotación de la rueda.

Otra curva que se puede admirar de manera regular en la ciudad es la tractriz; se trata de la trayectoria que sigue un perro que se niega a andar, arrastrado por la correa del amo que avanza en línea recta.

Otra curva muy corriente: la catenaria, que es la que adopta un cable eléctrico colgado entre dos postes o una cadena sujeta a dos puntos fijos.

Una última curva, con otro nombre difícil de retener: la clotoide. No obstante, aunque el nombre te resulte raro y complicado, intenta de todos modos retenerlo para poder darle las gracias cada vez que entres o salgas de una autovía.

Los matemáticos descubrieron la clotoide mucho antes de que existieran los automóviles, aunque en aquella época probablemente no respondía a ningún problema práctico. Sin embargo, con la llegada de vehículos capaces de circular a gran velocidad adquirió una importancia enorme.
En efecto, esta curva responde al problema siguiente: encontrar la trayectoria descrita cuando se circula siempre a la misma velocidad pero girando el volante de una manera progresiva, poco a poco, sin provocar sacudidas y tampoco sin aumentar ni disminuir la velocidad a la que se está rodando.

Para comprender la importancia de esta curva piensa en lo que ocurre si no mueves el volante. Una de dos; o vas todo recto, lo que está muy bien en una autovía, o giras en círculo, lo que es perfecto en una rotonda o en la rampa de un enlace viario.
Pero ¿qué forma tenemos que dar a una carretera que une un tramo recto a un arco de circunferencia? Si la rampa de salida es de forma circular, habrá que girar bruscamente el volante. Para evitar ese efecto, las salidas están trazadas en forma de segmento de clotoide, lo que permite girar de una manera progresiva el volante hasta la posición que conservará mientras el automóvil se encuentre en la rampa; y para volver a pasar a la línea recta, no hay más que volver a intercalar otro tramo de clotoide. ¿A quién agradecérselo?

La cicloide ya estuvo por aquí, y la catenaria también.